人教高中数学第19讲 利用导数研究函数的极值和最值（解析版）.docx

利用导数研究函数的极值和最值
【基础知识网络图】
函数极值点条件
函数的极值
求函数极值
函数的极值和最值
函数在闭区间上的最大值和最小值
【基础知识全通关】
1.函数的极值
函数的极值的定义
一般地，设函数在点及其附近有定义，
（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；
（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.
极大值与极小值统称极值.
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
2、求函数极值的的基本步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的根；
④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)
3、函数的最值
1.函数的最大值与最小值定理
若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间
内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.
注意：
①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。
2.通过导数求函数最值的的基本步骤：
若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：
（1）求函数在内的导数；
（2）求方程在内的根；
（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；
（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.
【考点研****一点通】
考点01利用倒数解决函数的极值等问题
1.已知函数若函数处取得极值，试求的值，并求在点处的切线方程；
【解析】
因为处取得极值
所以
所以。
又
所以在点处的切线方程
即.
【变式1-1】设为实数，函数．
(1)求的单调区间与极值；
(2)求证：当且时，．
【解析】（1）由知．
令，得．于是当变化时，的变化情况如下表：
－
0
+
单调递减
单调递增
故的单调递减区间是，单调递增区间是，
处取得极小值，极小值为
(2)证明：设，
于是，
由(1)知当时，最小值为
于是对任意，都有，所以在R内单调递增．
于是当时，对任意，都有．
而，从而对任意．
即，故．
【变式1-3】函数的定义域为区间（a，b），导函数在（a，b）内的图如图所示，则函数在（a，b）内的极小值有（　　　）
A．1个 　　　　 B．2个 　　　C．3个 　　　　 D．4个
【答案】由极小值的定义，只有点B是函数的极小值点，故选A。
考点02利用导数解决函数的最值问题
2、已知函数，．
(Ⅰ)若在处取得极值，求的值；
(Ⅱ)求在区间上的最小值；
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，若，求证：当时，恒有成立．
【解析】（Ⅰ）由，定义域为，得．
因为函数在处取得极值，所以，即，解得．
经检验，满足题意，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为．
当时，有，在区间上单调递增，最小值为；
当，由得，且．
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在区间上单调递增，最小值为；
当时，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以函数在取得最小值．
综上当时，在区间上的最小值为；
当时，在区间上的最小值为．
（Ⅲ）由得．
当时，，，
欲证，只需证，
即证，即．
设，
则．
当时，，所以在区间上单调递增．
所以当时，，即，
故．
所以当时，恒成立．
【变式2-1】已知函数(),.
(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;
(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.
【解析】(1)由为公共切点可得:,
则,,
,则,,
①
又,,
,即,
代入①式可得:.
(2),
设
则,令,
解得:,;
,,
原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增
①若,即时,最大值为;
②若,即时,最大值为
③若时,即时,最大值为.
综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为.
【变式2-2】已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范围。
【解析】（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b
由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2
f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x