人教高中数学第23讲 分类讨论思想（教师版）.docx

分类讨论思想
分类讨论思想是⼀种重要的数学思想⽅法，其基本思路是将⼀个较复杂的数学问题分解(或分割)成若⼲个基础性问题， 通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。
分类讨论，是⼀种重要的数学思想，也是⼀种逻辑⽅法，同时⼜是⼀种重要的解题策略。在⾼中数学中，分类讨论时⾮ 常重要的⼀种解题思路，每次⾼考的数学试卷中，必然会有需要⽤到这种思想⽅法的题⽬。
⼀、 分类讨论的要求及其意义
1、分类讨论的要求：
⾸先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进⾏合理分类，即标准统⼀、不重不漏、
分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进⾏讨论，分级进⾏，获取阶段性结果；最后进⾏归纳⼩结，综合得出结论。
2、分类讨论的因素：
(1)由数学概念⽽引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、⼆次函数的定义、直线的倾斜⾓等。
(2)由数学运算要求⽽引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次⽅根为⾮负数，对数运算中真数与底数的要求，
指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以⼀个正数、负数，三⾓函数的定义域，等⽐数列{an}的前n项和公式等。
(3)由性质、定理、公式的限制⽽引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等。
(4)由图形的不确定性⽽引起的分类讨论：如⼆次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等。
(5)由参数的变化⽽引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对
不同的参数值要运⽤不同的求解或证明⽅法等。
⼆、分类讨论思想的原则
为了分类的正确性，分类讨论必需遵循⼀定的原则进⾏，在中学阶段，我们经常⽤到的有以下四⼤原则：
(1) 同⼀性原则：分类应按照同⼀标准进⾏，即每次分类不能同时使⽤⼏个不同的分类根据。
(2) 互斥性原则：分类后的每个⼦项应当互不相容，即做到各个⼦项相互排斥，分类后不能有些元素既属于这个⼦项，
⼜属于另⼀个⼦项。
(3) 相称性原则：分类应当相称，即划分后⼦项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等。
(4) 层次性原则：分类有⼀次分类和多次分类之分，⼀次分类是对被讨论对象只分类⼀次；多次分类是把分类后的所有
的⼦项作为母项，再次进⾏分类，直到满⾜需要为⽌。
分类讨论思想的应⽤与例题详解
一、分类讨论思想在函数中的应用
1．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，时，恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求的导函数，对导函数中的参数分类讨论，在每种情况下通过导函数的正负得出函数的单调性；
（2）将函数恒成立问题转化为关于函数最值的不等式，解不等式得出参数取值范围.
【详解】（1），
①当时，在恒成立，在单调递减；
②当时，若，则；若，则，所以在单调递增，在单调递减；
③当时，若，则，若，则，所以在单调递减，在单调递增．
综上，当时，在单调递减；
当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递减，在单调递增．
（2）设，则题意等价于时，恒成立，所以，故.
，由，得或.
当时，，所以在为增函数；
当时，，所以在为减函数；
当时，，所以在为增函数.
，
要使时，恒成立，只需，解得 .故实数k的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的解题关键是：先根据区间端点处的恒成立，缩小参数的取值范围，避免了繁琐的分类讨论.
2．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围；
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）求导，分，两种情况讨论函数的单调区间和极值即可；（2）问题转化为
，对于恒成立，构造函数，得，判断单调性，求得，即可解决.
【详解】（1）由题知，，
所以，
当时，
因为，
所以，
所以的单调增区间是，无单调减区间，无极值，
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以的单调减区间是，单调增区间是，
极小值为，无极大值.
（2）因为对于任意，都有成立，
所以，
即问题转化为，对于恒成立，
即，对于恒成立，
令，
所以，
令，
所以，
所以在区间上单调递增，
所以，
所以，
所以在区间上单调递增，
所以函数，
要使，对于恒成立，只要，
所以，即，
所以实数的取值范围为；
3．已知函数，求函数在区间上的最大值．
【答案】答案见详解
【分析】求导，分类讨论判断原函数的单调性，进而确定最值.
【详解】由题意可得：，则，
∵，则有：
当时，则当时恒成立，
则函数在区间上单调递增，则；
当