人教高中数学第24讲 函数与方程思想（教师版）.docx

函数与方程思想
函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想。
1、函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想;
2、应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题;（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题;（3）方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）求出它们，这就是方程思想;
3、函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想
函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值，解（证）不等式，解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1、函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题，转化问题，从而使问题获得解决。
2、方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析，转化问题，使问题获得解决。方程思想是动中求静，研究运动中的.等量关系;
3、函数方程思想的几种重要形式
（1）函数和方程是密切相关的，对于函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0，也可以把函数式y=f（x）看做二元方程y―f（x）=0。
（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数y=f（x），当y>0时，就转化为不等式f（x）>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式;
（3）数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要;
（4）函数f（x）=（1+x）^n（n∈N*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题;
（5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论;
（6）立体几何中有关线段，角，面积，体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
应用一：函数观点解决方程与不等式
一、填空题
1．已知函数的零点为1，则实数a的值为______．
【答案】
【分析】利用求得的值.
【详解】由已知得，即，解得.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查函数零点问题，属于基础题.
2．命题“方程有整数解”是______命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【分析】设，根据在上的单调性，确定当时，，又，故可得方程无整数解，即可判断命题的真假.
【详解】解：设，则在上单调递增，当时，，
又，故不存在，使得方程有根.
所以命题“方程有整数解”是假命题.
故答案为：假.
3．函数零点的个数为_____________.
【答案】2
【分析】函数零点的个数即方程实数根的个数，求出方程的实根即可得出答案.
【详解】函数零点的个数，即方程实数根的个数.
由，即或
由得或.
由无实数根.
所以函数的零点有2个.
故答案为：2
【点睛】本题考查求函数的零点个数问题，根据题目条件求出函数的零点即可，属于基础题.
4．不等式的解集是______．
【答案】
【分析】解根式不等式，要先求定义域，然后再解不等式，根据题意可知：不等式成立的条件是，然后解不等式，取交集即可求解.
【详解】要使不等式有意义，则有，解得：.
当时，不等式恒成立；
当时，不等式可化为，解得：，所以，因为，所以，
综上：原不等式的解集为，
故答案为：.
5．若函数有零点，则实数k的取值范围是________．
【答案】(0，1]
【分析】依据题意可得，然后简单计算即可.
【详解】有零点，即k∈
而－|x|≤0，0<≤20＝1，∴的值域为(0，1]．
所以k的取值范围是(0，1]
故答案为：(0，1]
【点睛】本题考查依据函数有零点求参数，本题难点能得到，属基础题.
6．若函数只有一个零点，则实数的取值范围是__________；