人教高中数学第26讲 转化与化归思想（教师版）.docx

转化与化归思想
转化思想是数学中的一种基本却很重要的思想。深究起来，转化两字中包含着截然不同的两种思想，即转化和化归。这两者其实表达了不同的思想方法，可以说是思维方式与操作方法的区别。
转化思想
（1）转化思想的内涵
转化思想是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化，能跳出现有领域的局限，联系相关领域，并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。要做到这一点，对思维能力的要求相对更高，必须对各个领域分别都有透彻的了解，更必须对各领域之间的联系有较多的研究，在关键时刻才能随心所欲地运用。
（2）转化思想在同一学科中的应用
转化思想可以是在同一学科的不同知识模块之间的变换，在解决问题时改变解题方向。象数学学科中，数与式的互相转化、数与形的互相转化、文字语言与符号语言的互相转化。
比如，函数、方程、不等式是代数中的三大重要问题，而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其他模块的各类问题。不等式恒成立问题可以转化到用函数图象解决，或者是二次方程根的分布，也可以转化到二次函数与x轴的交点问题。再比如，数列问题用函数观点来解释，那更是我们数学课堂中一再强调的问题了。
转化思想对思维要求确实很高，但这一点还是能够做到的。因为各学科都有对知识模块的介绍，同时也有对各知识模块之间横向纵向的对比联系的研究。典型的例子就是数与形之间的思维转化，因为学生已经在初中老师的指导下对代数与几何分别有了研究，高中时不但分别进行了深化，更把两门学科合而为一，更多地注重两者之间的对比联系的研究。高中的《平面解析几何》的实质就是用“解析法”即“代数的方法”解决几何问题，已经体现了几何到代数的转化，比如介绍某些代数形式的几何表示（绝对值、不等式、方程的几何意义），引入几何图形中圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线）的方程，都是为培养思维在数与形之间的跳跃作了准备。再比如物理学科中有“电场”与“磁场”的分别研究，也有对“电磁场”的综合研究。所以学生在同学科内部的思维转化应该能够做到游刃有余。
1.如图,椭圆的离心率为是椭圆的右焦点,是椭圆上第一象限内任意一点,.若,则的取值范围是______.
【答案】 .
【解析】 解法1： 设点 . 所以 .
由 ,所以 ,.
因为 得 .
化简得,
即 .
对任意的恒成立
所以 .
解法 2： 设点 .因为 ,所以 .
,
得 ,
即 对任意的 恒成立,
即 .因为 ,
所以 对任意的 恒成立,
所以 .
解法 3： 因为 , 所以 .因为 , 由 ,
点 的轨迹 是以 为直经的圆 .
因为 , 所以圆
在椭圆 内.
.
所以 ,
所以 .
注向量问题转化为几何问题的关键是找到向量关系的几何意义, 核心是向量共线中 的几何意义旳利用.
2.已知椭圆为其左焦点,过原点的直线交椭圆于两点,点在第二象限,且,则直线的斜率为______.
【答案】
【解析】 记椭圆的右焦点为 , 连结 ,则 ,
则 ，故 , 即 ,
则
而 ,
于是 , 进而 ,
故 ,
则 , 即直线 的斜率为 .
3.如图,已知以原点为中心,四个顶点在椭圆上,的斜率为1,则四边形
周长的最大值为______.
【答案】
【解析】 解法1： 令 , 代人 , 得 ,
所以 .,
.
思路一
, 记 ,
则 ,
令 , 得 , 故周长的最大值为
.
思路二：
解法2： 令 , 代入 , 得 ,
所以 .
取 的中点为 , 则 . ,
由中点,故周长为
,
下同解法 1.
解法3：令 的中点为 的中点为 .由题意得 ,
故 .
设 , 则点 ,
由 ,
得
解得
,
故周长的最大值为 .
4.如图,以点为直角顶点的等腰Rt内接于椭圆,设直线的斜率为.
（1）试用表示弦长;
(2)若存在3个这样的,求实数的取值范围.
【答案】 (1) .
【解析】 (1) 设直线 的方程为 ，带入椭圆方程
整理得 ,
解得 , 则
所以 .
(2) 因为 是等䏣直角三角形,所以直线
的方程为 .同理 .
令 ,整理得 ,即 ，
即 ，即 .
若存在 3 个这样的等腰 Rt ,则方程
有两个不等于的负根 ,
因为 , 所以 .
5.设椭圆的右焦点为,过点的直线与椭圆交于两点,点的坐标为.
(1)当与轴垂直时,求直线的方程;
(2)设为坐标原点,证明:.
【答案】 (1) 或 ；
(2)见【解析】.
【解析】 (1) 由已