人教高中数学第31讲　高考题中的解答题二 （立体几何）（教师版）.docx

第31讲　高考题中的解答题二 （立体几何）
空间向量与空间角、距离问题　　
(一)　线面角　
以空间几何体为载体考查线面角是高考命题的重点.空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，利用空间向量求线面角是高考热点，通常以解答题的形式出现，难度中等.
[典例]　(2022·全国甲卷)在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝.
(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．
[解]　(1)证明：取AB中点为O，连接DO，CO，则OB＝DC＝1.
又DC∥OB，所以四边形DCBO为平行四边形．
又BC＝OB＝1，
所以四边形DCBO为菱形，所以BD⊥CO.
同理可得，四边形DCOA为菱形，所以AD∥CO，
所以BD⊥AD.
因为PD⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PD⊥BD，
又AD∩PD＝D，AD，PD⊂平面ADP，所以BD⊥平面ADP.
因为PA⊂平面ADP，所以BD⊥PA.
(2)由(1)知BD⊥AD，又AB＝2AD，所以∠DAO＝60°，
所以三角形ADO为正三角形．
过点D作垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B，P(0,0，)，D(0,0,0)．
则＝(0,2,0)，＝，＝(0,0，)．
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
则⇒
令x＝2，则y＝0，z＝1，所以n＝(2,0,1)．
设直线PD与平面PAB所成的角为α，则sin α＝|cos〈n，〉|＝＝＝，
所以直线PD与平面PAB所成的角的正弦值为.
方法技巧
利用空间向量求线面角的解题模型
针对训练
(2022·百师联盟开学考)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形A1ADD1为矩形，且平面A1ADD1⊥平面ABCD，AB∥CD，AB＝AD＝A1A＝CD，∠DAB＝，M，E分别为AD1，B1C的中点．
(1)证明：ME∥平面DCC1D1；
(2)求AE与平面B1BCC1所成的角的正弦值．
解：(1)证明：分别取AD和BC的中点H，P，连接MH，HP，PE，
则MH∥DD1，MH＝DD1，PE∥CC1，PE＝CC1，所以MH∥PE，MH＝PE，
所以四边形MHPE为平行四边形，
所以ME∥PH，又PH∥CD，所以ME∥CD，
因为CD⊂平面DCC1D1，ME⊄平面DCC1D1，
所以ME∥平面DCC1D1.
(2)因为四边形A1ADD1为矩形，所以DD1⊥AD，因为平面A1ADD1⊥平面ABCD，且平面A1ADD1∩平面ABCD＝AD，所以D1D⊥平面ABCD，故D1D⊥CD，
因为AB∥CD, ∠DAB＝，所以CD⊥AD，
以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，
B1(1,1,1)，E，所以＝(0,0,1)，＝(－1,1,0)，＝
设平面B1BCC1的法向量为n＝(x，y，z)，
则⇒
令x＝1，则y＝1，所以n＝(1,1,0)，
所以cos〈，n〉＝＝，
所以AE与平面B1BCC1所成的角的正弦值为.
(二)　平面与平面的夹角　
以空间几何体为载体考查平面与平面的夹角是高考命题的重点.空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，利用空间向量求平面与平面的夹角是高考热点，通常以解答题的形式出现，难度中等.
[典例]　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，PM＝MD.
(1)求证：BP∥平面ACM；
(2)求平面MBC与平面DBC夹角的余弦值．
[关键点拨]
切入点
(1)在平面ACM内找与PB平行的线；
(2)建立坐标系，利用向量法求解
迁移点
(1)把线面平行问题转化为线线平行问题；
(2)把求两平面夹角问题转化为求两法向量的夹角问题
障碍点
不会建系．本题不能直接建系，需根据侧面PAB⊥底面ABCD，作交线AB的垂线，可得平面ABCD的垂线，从而建立坐标系
[解]　(1)证明：连接BD，与AC交于O，连接OM，在△PBD中，
因为O，M分别为BD，PD的中点，所以BP∥OM.
因为BP⊄平面ACM，OM⊂平面ACM，所以BP∥平面ACM.
(2)设E是AB的中点，连接PE，因为△PAB为正三角形，所以PE⊥AB.
又因为面PAB⊥底面ABCD，面PAB∩底面ABCD＝AB，PE⊂平面PAB，所以PE⊥平面ABCD.
过E作EF平行于CB与CD交于F.以E为