人教高中数学第八讲导数的概念及其运算解析版.docx

第八讲：导数的概念及运算
【考点梳理】
1．导数的概念
函数在处的瞬时变化率，我们称它为函数在处的导数，记作或，
即．
2．导数的几何意义
函数在处的导数的几何意义是曲线在点处的切线斜率，即，相应地切线方程．
3．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
（为常数）
（）
（）
（）
（）
（）
4．导数的运算法则
若函数，均可导，则：
（1）；
（2）；
（3）．
5、切线问题
（1）已知函数，在点的切线方程；
① ②
（2）已知函数，过点的切线方程
①设切点 ②求斜率 ③利用两点求斜率 ④利用求出切点，再回带求出斜率，进而利用点斜式求切线。
【典型题型讲解】
考点一：导数的几何意义---已知切点求切线方程
【典例例题】
例1．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数，该函数在处的切线方程为__________.
【答案】
【详解】对函数求导可得，把代入可得，
则切线方程的斜率.又因为，所以切点为，从而可得切线方程为.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
求导，求斜率，用点斜式写切线方程
【变式训练】
1．（2022·广东广州·一模）曲线在点处的切线方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵
∴，所以，
又当时，，
所以在点处的切线方程为：，即.
故选：A.
2．（2022·广东广东·一模）已知，则曲线在处的切线方程是______．
【答案】
【详解】，，，
所以曲线在处的切线方程式，
得.
故答案为：
3.已知，则曲线在点处的切线的斜率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
对，
求导可得，，得到，所以，
，所以，，
故选D
4．已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
是奇函数，
恒成立，所以，
，，
所以，，即，
．
故选：A．
【典型题型讲解】
考点二：已经切线斜率求切点问题
【典例例题】
例1．（2022·广东潮州·高三期末）曲线与直线相切，则______．
【答案】1
【详解】由题意，函数，可得，
设切点为，则，
因为曲线与直线相切，可得，即，①
又由，即切点为，可得，②
联立①②，可得．
故答案为：1
例2．（2022·广东珠海·高三期末）若函数在处的切线与直线垂直，则______．
【答案】-1
【详解】，，由．
故答案为：．
【方法技巧与总结】
设切点坐标，求导，建立有关斜率和切点有关方程或方程组进行运算.
【变式训练】
1．（2022·广东清远·高三期末）已知曲线在点处的切线方程为，则_________．
【答案】-5
【详解】解：因为，所以，所以所以，所以．
故答案为：
2.已知曲线在点处的切线方程为，则（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【详解】
解：，，
∴，∴．将代入得，∴．
故选：C．
【典型题型讲解】
考点三：过一点求函数的切线方程
【典例例题】
例1.函数过点的切线方程为（       ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【详解】
由题设，若切点为，则，
所以切线方程为，又切线过，
则，可得或，
当时，切线为；当时，切线为，整理得.
故选：C
【方法技巧与总结】
设切点坐标，求导，求斜率，写切线方程，带已经点到到切线方程
【变式训练】
1.若过点的直线与函数的图象相切，则所有可能的切点横坐标之和为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为函数，所以，
设切点为，则切线方程为：，
将点代入得，
即，解得或，
所以切点横坐标之和为
故选：D.
2.曲线过点的切线方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由题意可得点不在曲线上，
设切点为，因为，
所以所求切线的斜率，
所以.
因为点是切点，所以，
所以，即.
设，明显在上单调递增，且，
所以有唯一解，则所求切线的斜率，
故所求切线方程为.
故选：B.
【典型题型讲解】
考点四：公切线问题
【典例例题】
例1．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数，过点可作两条直线与函数相切，则下列结论正确的是（    ）
A． B．
C．的最大值为2 D．
【答案】B
【详解】设切点为，又，则切线的斜率