人教高中数学第二课时 定值问题.doc

第二课时　定值问题
　题型一　长度或距离为定值
例1 (2020·北京卷)已知椭圆C：＋＝1过点A(－2，－1)，且a＝2b.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点B(－4，0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝－4于点P，Q，求的值.
解　(1)由椭圆过点A(－2，－1)，
得＋＝1.
又a＝2b，∴＋＝1，解得b2＝2，
∴a2＝4b2＝8，∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，显然不合题意.
设直线l：y＝k(x＋4)，
由得(4k2＋1)x2＋32k2x＋64k2－8＝0.
由Δ＞0，得－＜k＜.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
又∵直线AM：y＋1＝(x＋2)，
令x＝－4，得yP＝－1.
将y1＝k(x1＋4)代入，
得yP＝.
同理yQ＝.
∴yP＋yQ＝－(2k＋1)
＝－(2k＋1)·
＝－(2k＋1)·
＝－(2k＋1)×
＝0.
∴|PB|＝|BQ|，∴＝1.
感悟提升　探求圆锥曲线中的定线段的长的问题，一般用直接求解法，即先利用弦长公式把要探求的线段表示出来，然后利用题中的条件(如直线与曲线相切等)得到弦长表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入弦长表达式中，化简可得弦长为定值.
训练1 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，其焦点为F，O为坐标原点，直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，M为AB的中点.
(1)若p＝2，M的坐标为(1，1)，求直线l的方程.
(2)若直线l过焦点F，AB的垂直平分线交x轴于点N，求证：为定值.
(1)解　由题意知直线l的斜率存在且不为0，
故设直线l的方程为x－1＝t(y－1)
即x＝ty＋1－t，设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由得y2－4ty－4＋4t＝0，
∴Δ＝16t2＋16－16t＝16(t2－t＋1)＞0，
y1＋y2＝4t，
∴4t＝2，即t＝.
∴直线l的方程为2x－y－1＝0.
(2)证明　∵抛物线C：y2＝2px(p＞0)，
∴焦点F的坐标为.
由题意知直线l的斜率存在且不为0，
∵直线l过焦点F，故设直线l的方程为x＝ty＋(t≠0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由得y2－2pty－p2＝0，
∴y1＋y2＝2pt，Δ＝4p2t2＋4p2＞0.
∴x1＋x2＝t(y1＋y2)＋p＝2pt2＋p，
∴M.
∴MN的方程为y－pt＝－t.
令y＝0，解得x＝pt2＋，N，
∴|MN|2＝p2＋p2t2，|FN|＝pt2＋－＝pt2＋p，
∴＝＝2p，为定值.
　题型二　斜率或其表达式为定值
例2 (12分)(2022·衡水模拟)已知点P在圆O：x2＋y2＝6上运动，点P在x轴上的投影为Q，动点M满足(1－)＝－.
(1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)过点(2，0)的动直线l与曲线E交于A，B两点，问：在x轴上是否存在定点D，使得·＋2的值为定值？若存在，求出定点D的坐标及该定值；若不存在，请说明理由.
[规范答题]
解　(1)设M(x，y)，P(x0，y0)，
由(1－)＝－，
得－＝－，
即＝，……………………2分
∴又点P(x0，y0)在圆O：x2＋y2＝6上，
∴x＋y＝6，∴x2＋3y2＝6，
∴轨迹E的方程为＋＝1. ……………………4分
(2)当直线l的斜率存在时，
设l：y＝k(x－2)，
由消去y得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝，x1·x2＝，……………………6分
根据题意，假设x轴上存在定点D(m，0)，
使得·＋2＝·(－)＝·为定值，
则有·＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2
＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1－2)(x2－2)
＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋(4k2＋m2)＝(k2＋1)×－(2k2＋m)·＋(4k2＋m2)
＝，……………………10分
要使上式为定值，即与k无关，则3m2－12m＋10＝3(m2－6)，
即m＝，此时·＝m2－6＝－为常数，定点D的坐标为.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，易求得直线l与椭圆C的两个交点坐标分别为
，，
此时·＝·
＝－.……………………11分
综上所述，存在定点D，使得·＋2为定值－.………………12分
第一步　求圆锥曲线的方程
第二步　特殊情况分类讨论
第三步　联立直线和圆锥曲线的方程
第四步　应用根与系数的关系用参数表示点的