人教高中数学第二十一讲空间向量在立体几何中的应用解析版.docx

第二十一讲：空间向量在立体几何中的应用
【考点梳理】
1.法向量的求解
①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有．
第一步：写出平面内两个不平行的向；
第二步：那么平面法向量，满足．
第三步：化解方程组令其中一个为1，求其它两个值.
2.判定直线、平面间的位置关系
①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，．
若∥，即，则；若，即，则．
②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且．
若∥，即，则；若，即，则．

3.平面与平面的位置关系
平面的法向量为，平面的法向量为．
若∥，即，则；若⊥，即，则⊥．

4.空间角公式．
（1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则．
（2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为
与所成角的大小，则．
（3）二面角公式：
设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中．
5.点到平面的距离
为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线．
【典型题型讲解】
考点一：直线与平面所成的角
【典例例题】
例1．（2022·广东茂名·一模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，E为CD的中点，.
(1)证明： ；
(2)若三角形AED为等边三角形，PA=AD=6，F为PB上一点，且，求直线EF与平面PAE所成角的正弦值.
【解析】(1)由平面，平面
又 ，E为CD的中点
又
，.
又，平面
平面. 又
.
(2)由（1）得，以点A为原点，分别以AC、AD、AP为x、y、z轴建立空间坐标系.
因为三角形AED为等边三角形，PA=AD=6，
CD=12，AC=
.
设平面PAE的一个法向量为
由得，
令则
设直线EF与平面PAE所成的角为
【方法技巧与总结】
设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则
．
【变式训练】
1．（2022·广东惠州·一模）如图1所示，梯形ABCD中，AB=BC=CD=2，AD=4，E为AD的中点，连结BE，AC交于F，将△ABE沿BE折叠，使得平面ABE⊥平面BCDE（如图2）.
(1)求证：AF⊥CD；
(2)求平面AFC与平面ADE的夹角的余弦值.
【解析】（1）连接EC，则△ABE､△BCE､△CDE都是正三角形，四边形ABCE是菱形，
所以，，
又因为面面BCDE，面面，面ABE，
所以面BCDE，
又因为面BCDE，所以；
（2）由（1）知FB､FC､FA两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，
设平面ADE的法向量为，，
令，，
平面AFC的法向量为，
设平面AFC与平面ADE的夹角的大小为，
，
所以平面AFC与平面ADE的夹角的余弦值为.
2．（2022·广东广州·一模）如图，在五面体ABCDE中，平面ABC，，，.
(1)求证：平面平面ACD；
(2)若，，五面体ABCDE的体积为，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值.
【解析】若是中点，连接，作，由知：，
因为面ABC，则面ABC，又面ABC，
所以，，
综上，两两垂直，故可构建如下图示的空间直角坐标系，
令，，，则，，，
所以，，
若是面的一个法向量，即，令，则，
又是面的一个法向量，则，
所以面面.
(2)由面ABC，面ABED，则面ABED面ABC，故到面ABED的距离，即为△中上的高，因为，，则，故，
所以上的高.
又面ABC，则，而，有，，
所以为直角梯形，令，则，
综上，，故.
由（1）知：，，，，
所以，，
若是面ABED的一个法向量，即，令，则，
而，则，
所以直线CE与平面ABED所成角的正弦值为.
3．（2022·广东汕头·一模）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，为底面直径，，是底面的内接正三角形，且，P是线段上一点.
(1)是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)当为何值时，直线与面所成的角的正弦值最大.
【解析】（1）
解：由题得,
所以. 所以△是圆的内接三角形，
所以，
由题得.
假设平面，所以.
此时
所以时，平面.
（2）
解：如图所示，建立以点