人教高中数学第七讲函数图像及函数与方程解析版.docx

第七讲：函数图像、函数与方程
【考点梳理】
1、函数的图象
(1)平移变换：
(2)伸缩变换：
(3)对称变换：

(4)翻折变换：
2、函数与方程
(1)判断二次函数在上的零点个数，一般由对应的二次方程的判别式来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．
(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．
(3)若函数在上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又，则在区间内有唯一零点．
【典型题型讲解】
考点一：函数的图像
【典例例题】
例1．（多选题）在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】
依题意，当时，函数图象与y轴交点在点上方，排除B，C，
而，因此，在上递减，且x<0时，0<f(x)<1，D不满足，A满足；
当时，函数图象与y轴交点在原点上方，点下方，排除A，D，
而，因此，f(x)在上递增，且x>0时，0<f(x)<1，B不满足，C满足，
所以给定函数的图象可能是AC.
故选：AC
【方法技巧与总结】
1.熟练掌握高中八个基本初等函数的图像的画法
2.函数的图像变换：平移，对称、翻折变换
【变式训练】
1.已知图①中的图象是函数的图象，则图②中的图象对应的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数的图象在轴右侧的部分，
然后将轴左侧图象翻折到轴右侧，轴左侧图象不变得来的，
∴图②中的图象对应的函数可能是.
故选：C.
2.已知函数无最小值，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
对于函数，
可得，
由，得或，由，得，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴函数在时有极大值2，在时有极小值，
作出函数与直线的图象，
3.若函数（且）在R上为减函数，则函数的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
因为函数（且）在R上为减函数.
所以 .
因为函数，定义域为，故排除A、B.
当时，函数在上单调递减.
当时, 函数在单调递增.
故选:D.
由图可知，当时，函数有最小值，当时，函数没有最小值.
故选：D.
4.函数的图象如图所示，则函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
将函数的图象作以轴为对称轴的翻折变换，得到函数的图象，再将图象向右平移一个单位，即可得到函数的图象．
故选：D．
考点二：求函数的零点或零点所在区间判断
【典例例题】
例1.已知函数满足，且是的一个零点，则一定是下列函数的零点的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
因为，所以，所以函数是奇函数．由已知可得，即．所以，所以，故一定是的零点，故A正确，B错误；
又由，得，所以，故C错误；由，故D错误.
故选：A．
例2.函数的零点所在的区间是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
函数 是上的连续增函数,
,
可得,
所以函数 的零点所在的区间是.
故选：C
【方法技巧与总结】
求函数零点的方法：
（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.
【变式训练】
1.已知函数，则的所有零点之和为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
时，由得，
时，由得或，
所以四个零点和为．
故选：D．
2．已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由已知条件得
的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标，
在同一坐标系分别画出，，，的函数图象，如下图所示,
可知，
故选：.
3.（2022·广东广州·二模）函数的所有零点之和为__________．
【答案】9
【详解】
由，令，，
显然与的图象都关于直线对称，
在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，
观察图象知，函数，的图象有6个公共点，其横坐标依次为，
这6个点两两关于直线对称，有，则，
所以函数的所有零