人教高中数学第三节 等比数列及其前n项和 教案.doc

第三节　等比数列及其前n项和
核心素养立意下的命题导向
1.与等差数列的定义、性质相类比，考查等比数列的定义、性质，凸显逻辑推理的核心素养．
2．结合具体问题的计算，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，凸显数学运算的核心素养．
3．与实际应用问题相结合，考查等比数列的应用，凸显数学建模的核心素养．
[理清主干知识]
1．等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列．
数学语言表达式：＝(n≥2，q为非零常数)．
(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±.
2．等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3．等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和．
(1)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为.
(2)若{an}，{bn}是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
(3)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
(4)当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为.
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(求公比)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于(　　)
A．－　　　　　　　　 B．－2
C．2 D.
解析：选D　由题意知q3＝＝，即q＝.
2．(项的性质的应用)已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝(　　)
A．32 B．64
C．128 D．256
解析：选C　∵a2·a4＝a＝16，∴a3＝4(负值舍去)，①
又S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋a3＝7，②
联立①②，得3q2－4q－4＝0，解得q＝－或q＝2，
∵an>0，∴q＝2，∴a8＝a3·q5＝27＝128.
3．(前n项和性质的应用)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝(　　)
A．31 B．32
C．63 D．64
解析：选C　由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.
二、易错点练清
1．(忽视判断项的符号)在等比数列{an}中，若a3，a7是方程x2＋4x＋2＝0的两根，则a5的值是(　　)
A．－2 B．－
C．± D.
解析：选B　根据根与系数之间的关系得a3＋a7＝－4，
a3a7＝2，由a3＋a7＝－4<0，a3a7>0，
得a3<0，a7<0，即a5<0，
由a3a7＝a，得a5＝－＝－.
2．(忽视等比数列的项不为0)已知x,2x＋2,3x＋3是等比数列的前三项，则x的值为________．
解析：由题意，得(2x＋2)2＝x(3x＋3)，即x2＋5x＋4＝0，解得x＝－1或x＝－4.当x＝－1时，x,2x＋2,3x＋3分别为－1,0,0，不构成一个等比数列，故x≠－1；当x＝－4时，x,2x＋2,3x＋3分别为－4，－6，－9，能构成一个等比数列，所以x的值为－4.
答案：－4
3．(多个结果不注意验证)已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63，则{an}的通项公式为an＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q.由已知，有－＝，即1－＝，解得q＝2或q＝－1.若q＝－1，则S6＝0，与S6＝63矛盾，不符合题意，∴q＝2，∴S6＝＝63，得a1＝1，∴an＝2n－1.
答案：2n－1
4．(忽视对公比的讨论)设a∈R，n∈N*，则1＋a＋a2＋a3＋…＋an＝________.
解析：当a＝1时，1＋a＋a2＋a3＋…＋an＝n＋1；当a≠0且a≠1时，1＋a＋a2＋a3＋…＋an＝；当a＝0时，1＋a＋a2＋a3＋…＋an＝1满足上式．所以1＋a＋a2＋a3＋…＋an＝
答案：
考点一　等比数列的基本运算
[典例]　(1)(2020·全国卷Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则＝(　　)
A．2n－1　　　　　　　　 B．2－21－n
C．2－2n－1 D．21－n－1
(2)(2020·全国卷Ⅱ)数列{an}中