人教高中数学第三节 二次函数与幂函数 教案.doc

第三节　二次函数与幂函数
核心素养立意下的命题导向
1.与不等式、方程等问题综合考查幂函数的图象与性质，凸显数学抽象、逻辑推理的核心素养．
2．与一元二次方程、一元二次不等式相结合考查二次函数的图象与性质，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．幂函数的定义
形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．对于幂函数，只讨论α＝1,2,3，，－1时的情形．
2．五种幂函数的图象与性质
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上
单调递增
在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增
在R上
单调递增
在(0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
图象
过定点
(0,0)，(1,1)
(1,1)
3.二次函数解析式的三种形式
一般式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，图象的对称轴是x＝－，顶点坐标是
顶点式
f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，图象的对称轴是x＝m，顶点坐标是(m，n)
零点式
f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，图象的对称轴是x＝
4．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
a>0
a<0
图象
定义域
R
值域
奇偶性
b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数
单调性
在上单调递减，在[－ ，＋∞）上单调递增
在上单调递增，在[－，＋∞）上单调递减
最值
当x＝－时，
ymin＝
当x＝－时，
ymax＝
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(幂函数的概念)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　)
A.　　　B．1　　　　C.　　　　D．2
答案：C
2．(幂函数的图象)
如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c<b<a B．a<b<c
C．b<c<a D．a<c<b
答案：D
3．(二次函数的图象)已知抛物线y＝8x2－(m＋1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝________.
答案：15
4．(二次函数的值域)函数f(x)＝2x2－6x＋1在区间[－1,1]上的最小值是________，最大值是________．
答案：－3　9
二、易错点练清
1．(图象特征把握不准)如图，若a<0，b>0，则函数y＝ax2＋bx的大致图象是(　　)
答案：C
2．(对二次函数的单调性理解不到位)若函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是________．
答案：
3．(忽视幂函数的定义域)已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围为________．
答案：(3,5)
考点一　幂函数的图象与性质
[典例]　(1)与函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)
(2)已知a＝3，b＝4，c＝12，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．b<a<c　　　　　　　 B．a<b<c
C．c<b<a D．c<a<b
[解析]　(1)y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由y＝x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图象所示)，将y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B.
(2)因为a＝81，b＝16，c＝12，由幂函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，知a>b>c，故选C.
[答案]　(1)B　(2)C
[方法技巧]
幂函数图象与性质的应用
(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．　
[针对训练]
1．(多选)已知函数f(x)＝xα的图象经过点(4,2)，则(　　)
A．函数f(x)在定义域内为增函数
B．函数f(x)为偶函数
C．当x>1时，f(x)>1
D．当0<x1<x2时，<f
解析：选ACD　由题意得4α＝2，∴α＝，
∴f(x)＝x＝，∴函数f(x)在上单调递增，且为非奇非偶函数，故A正确，B错误；
当x>1时