人教高中数学第一节 数列的概念及简单表示 教案.doc

第六章 数列
第一节　数列的概念及简单表示
核心素养立意下的命题导向
1.与归纳推理相结合，考查数列的概念与通项，凸显逻辑推理的核心素养．
2．与函数相结合，考查数列的概念性质，凸显数学抽象的核心素养．
3．与递推公式相结合，考查对求通项公式的方法的掌握，凸显数学运算、数学建模的核心素养．
[理清主干知识]
1．数列的有关概念
(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
(3)数列的前n项和：数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和．
2．an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
3．数列的通项公式与递推公式
(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
4．数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间
递增数列
an＋1>an
其中
n∈N*
的大小关系
递减数列
an＋1<an
分类
常数列
an＋1＝an
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(观察数列求通项公式)数列1,3,6,10,15，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝n2－(n－1)　　　 B．an＝n2－1
C．an＝ D．an＝
解析：选C　观察数列1,3,6,10,15，…可以发现：
1＝1，
3＝1＋2，
6＝1＋2＋3，
10＝1＋2＋3＋4，
…
所以第n项为1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝，
所以数列1,3,6,10,15，…的一个通项公式为an＝.
2．(观察图形求通项公式)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.
解析：由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，归纳得an＝5n－4.
答案：5n－4
3．(利用递推公式求项)数列{an}中，a1＝2，且an＋1＝an－1，则a4＝________.
解析：由a1＝2，an＋1＝an－1，得a2＝0，a3＝－1，a4＝－.
答案：－
4．(由Sn求an)已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n，则数列{an}的通项公式是________．
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(n－1)＝2；
当n＝1时，a1＝S1＝2，所以an＝2.
答案：an＝2
二、易错点练清
1．(忽视n为正整数)在数列－1,0，，，…，中，若an＝0.08，则n＝(　　)
A.　　 B．8　　　　C.或10　　　　D．10
解析：选D　由题意可得＝0.08，解得n＝10或n＝(舍去)．
2．(忽视数列是特殊的函数)若an＝n2－5n＋3，则当n＝________时，an取得最小值．
解析：an＝n2－5n＋3＝2－，
∵n∈N*，∴当n＝2或3时，an最小，a2＝a3＝－3.
答案：2或3
3．(忽视对n＝1的验证)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2，则an＝________.
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－2)－[(n－1)2－2]＝2n－1；
当n＝1时，a1＝S1＝1－2＝－1，不满足上式．
故an＝
答案：
考点一　利用an与Sn的关系求通项
[典例]　(1)已知Sn＝3n＋2n＋1，则an＝__________.
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.
[解析]　(1)因为当n＝1时，a1＝S1＝6；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]
＝2·3n－1＋2，
由于a1不适合此式，
所以an＝
(2)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，
∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，
∵Sn≠0，
∴－＝1，即－＝－1.
又＝－1，
∴是首项为－1，公差为－1的等差数列．
∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.
[答案]　(1)　(2)－
[方法技巧]