人教高中数学第一课时 向量法求空间角.doc

考试要求　1.掌握空间向量的应用.2.会用空间向量求空间角和距离.
1.两条异面直线所成的角
设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，
则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝.
2.直线和平面所成的角
直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝.
3.平面与平面的夹角
(1)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面 β的夹角.
(2)两平面夹角的计算：设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝.
4.点P到直线l的距离
设＝a，u是直线l的单位方向向量，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝.
5.点P到平面α的距离
若平面α的法向量为n，平面α内一点为A，则平面α外一点P到平面α的距离d＝＝，如图所示.
6.线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.
1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|.
2.二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(　　)
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(　　)
(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角.(　　)
(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π].(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)两直线的方向向量所成的角是两条直线所成的角或其补角；(2)直线的方向向量a，平面的法向量n，直线与平面所成的角为θ，则sin θ＝|cosa，n|；(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角或其补角.
2.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m，n〉＝，则l与α所成的角为(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
答案　B
解析　由于cos 〈m，n〉＝，所以〈m，n〉＝30°，所以直线l与α所成的角为60°.
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为(　　)
A.－ B.－ C. D.
答案　D
解析　建立如图空间直角坐标系D－xyz，
设DA＝1，A(1，0，0)，
C(0，1，0)，E，
则＝(－1，1，0)，＝，设异面直线DE与AC所成的角为θ，
则cos θ＝|cos〈，〉|＝.
4.(2021·聊城模拟)已知点M(0，1，－2)，平面α过原点，且平面α的法向量n＝(1，－2，2)，则点M到平面α的距离为________.
答案　2
解析　由题意可知点M到平面α的距离即为在n的投影的长度，∵M(0，1，－2)，
∴＝(0，1，－2)，∴·n＝－6，|n|＝3，故点M到平面α的距离为＝2.
5.(易错题)若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角为________.
答案　30°
解析　设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 120°|＝.
又∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.
6.在空间中，已知平面α过点(3，0，0)和(0，4，0)及z轴上一点(0，0，a)(a＞0)，如果平面α与平面Oxy所成的角为45°，则a＝________.
答案　
解析　平面Oxy的一个法向量为n＝(0，0，1)，
设平面α的一个法向量为u＝(x，y，z)，
则则3x＝4y＝az，取z＝1，
则u＝，而cos〈n，u〉＝＝.
又a＞0，故a＝.
第一课时　向量法求空间角
　题型一　异面直线所成的角
例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；
(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.
(1)证明　因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，
所以BD⊥平面PAC.
(2)解　设AC∩BD＝O，
因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，
所以BO＝1，AO