人教高中数学解密17 空间几何体的结构和内切 外切球问题 （解析版）.docx

解密17 空间几何体的体积和内切 外切球问题
【考点解密】
1．多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
含义
①有两个面互相平行且全等，其余各面都是平行四边形．
②每相邻两个四边形的公共边都互相平行
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
侧棱
平行且相等
相交于一点但不一定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
2.旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
3.三视图与直观图
三视图
画法规则：长对正、高平齐、宽相等
直观图
斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.
4.多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
6.柱、锥、台、球的表面积和体积
名称
几何体　　
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3
【方法技巧】
1．多面体与球接、切问题求解策略
(1)截面法：过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．
(2)补形法： “补形”成为一个球内接长方体，则利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
2．球的切、接问题的常用结论
(1)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即＝2R.
(2)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h，底面外接圆半径为x，则该几何体外接球半径R满足R2＝＋x2.
(3)外接球的球心在几何体底面上的投影，即为底面外接圆的圆心．
(4)球(半径为R)与正方体(棱长为a)有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体，此时2R＝a；二是球与正方体的十二条棱相切，此时2R＝a；三是球外接于正方体，此时2R＝a.
【核心题型】
题型一：利用三视图求直视图的体积问题
1．（2023·四川·校联考一模）如图，网格纸上绘制的是一个四棱台的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（    ）
A． B． C． D．7
【答案】C
【分析】根据三视图，结合体积公式直接求解即可.
【详解】由题知该四棱台的上底面是边长为的正方形，下底面是边长为的正方形，高为.
所以，
故选：C
2．（2023·广西桂林·统考模拟预测）如图，已知某个几何体的三视图，根据图中标出的尺寸（单位：mm），可得这个几何体的体积是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三视图得到几何体是四棱锥，得到边长数据，计算体积得到答案.
【详解】由三视图可得几何体是四棱锥，其中面面；
底面是边长分别为200和300的长方形；棱锥的高是200，
由棱锥的体积公式得，
故选：D
3．（2023秋·广西河池·高三统考期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据三视图可得，该几何体是以个正方体内挖去一个底面直径为正方体棱长且等高的圆锥，代入体积计算公式即可求解.
【详解】由三视图可知：该几何体是一个棱长为的正方体内挖去一个底面半径为，高为的圆锥，
由正方体和圆锥的体积计算公式可得：
，
故选：.
题型二：利用三视图求直视图的面积问题
4．（2022·四川雅安·统考一模）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则构成该多面体的面中最大的面积