人教高中数学课时跟踪检测（三十九） 立体几何的综合性问题 作业.doc

课时跟踪检测（三十九） 立体几何的综合性问题
1．如图①，在等腰梯形ABCD中，AB＝2，CD＝6，AD＝2，E，F分别是线段CD的两个三等分点．若把等腰梯形沿虚线AF，BE折起，使得点C和点D重合，记为点P，如图②.
(1)求证：平面PEF⊥平面ABEF；
(2)求平面PAE与平面PAB所成锐二面角的余弦值．
解：(1)证明：由已知条件易知四边形ABEF是正方形，
BE⊥EF且BE⊥PE.又PE∩EF＝E，
所以BE⊥平面PEF.
因为BE⊂平面ABEF，
所以平面PEF⊥平面ABEF.
(2)如图，过点P作PO⊥EF于点O，
过点O作BE的平行线交AB于点G，
则PO⊥平面ABEF.
又PO，EF，OG所在直线两两垂直，
所以分别以OG，OE，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A(2，－1,0)，B(2,1,0)，E(0,1,0)，
P(0,0，)．
所以＝(－2,2,0)，＝(0，－1，)，＝(0,2,0)，＝(2，－1，－)．
设平面PAE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则所以
令z1＝1，得n1＝(，，1)．
设平面PAB的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则所以
令z2＝2，得n2＝(，0,2)．
设平面PAE与平面PAB所成锐二面角为θ，
则cos θ＝＝＝.
所以平面PAE与平面PAB所成锐二面角的余弦值为.
2.如图，在四棱锥P­ABCD中，ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PB＝2，∠DPC＝45°，∠PBD＝30°.
(1)在PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由；
(2)当E为PB的中点时，求二面角P­AE­D的余弦值．
解：(1)存在点E，使PC⊥平面ADE.
以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz.
由题意知PD＝CD＝1，AD＝，
所以D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(，0,0)，B(，1,0)，C(0,1,0)．
所以＝(，1，－1)，＝(0,1，－1)．
设＝λ (0≤λ≤1)，则＝λ＝λ(，1，－1)，
所以E(λ，λ，1－λ)．
由·＝(0,1，－1)·(λ，λ，1－λ)＝λ－1＋λ＝0，得λ＝，
即当点E为PB的中点时，PC⊥DE.
由矩形ABCD知AD⊥CD，由PD⊥平面ABCD知PD⊥AD，
又PD∩CD＝D，所以AD⊥平面PDC，所以AD⊥PC.
又AD∩DE＝D，所以PC⊥平面ADE.
所以，当点E为PB的中点时，PC⊥平面ADE.
(2)由(1)知＝(，0,0)，＝，＝(，0，－1)，＝.
由(1)知平面ADE的一个法向量为n1＝＝(0,1，－1)．
设平面PAE的法向量为n2＝(x，y，z)，
则即
取x＝1，得n2＝(1,0，)．
设n1，n2的夹角为θ，则cos θ＝＝－.
由图知二面角P­AE­D为锐角，
故所求二面角P­AE­D的余弦值为.
3．如图1，已知等边△ABC的边长为3，点M，N分别是边AB，AC上的点，且BM＝2MA，AN＝2NC.如图2，将△AMN沿MN折起到△A′MN的位