人教高中数学阅读与欣赏(五)　求解平面向量问题的五大策略.doc

求解平面向量问题的五大策略
平面向量既具备几何意义、也具备类似数的运算，在解题中既可以按照几何的思路处理，也可以通过运算解决问题，解平面向量的题目有一些策略，用好这些策略可以顺利地解决问题．
策略一　用好共线向量定理及其推论
在△ABC中，＝2a，＝3b，设P为△ABC内部及其边界上任意一点，若＝λa＋μb，则λμ的最大值为__________．
【解析】　过点P作BC平行线，交AB，AC于点M，N，设＝t，则有＝t＋(1－t)(0≤t≤1)，设＝m，则有＝m(0≤m≤1)，所以＝tm＋(1－t)m，
所以＝2tma＋3(1－t)mb，所以所以λ≥0，μ≥0，3λ＋2μ＝6m≤6，由3λ＋2μ≥2得2≤6，所以λμ≤，λμ的最大值为.
【答案】　
(1)A，B，C三点共线时，一定存在实数λ，使得＝λ或＝λ等；
(2)A，B，C三点共线的充要条件是对不在直线AB上的任意一点O，存在实数t使得＝t＋(1－t)·或＝λ＋μ，λ＋μ＝1.　
策略二　用好平面向量基本定理
在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则等于(　　)
A．a＋b　　　　　　　　 B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
【解析】　如图，
E为OD中点，
则BE＝3DE.因为AB∥CD，
则＝3，－＝3－3，
－＋＝3－3(－)，
3＝－＋＋3×＋3×，
3＝2＋，则＝＋，
即＝a＋b.故选B．
【答案】　B
平面向量基本定理表明，同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合，即选择了两个不共线向量e1和e2，平面内的任何一向量a都可以用向量e1，e2表示为a＝λ1e1＋λ2e2，并且这种表示是唯一的，即若λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则必有λ1＝μ1，λ2＝μ2.这样，平面向量基本定理不仅把几何问题转化为只含有λ1，λ2的代数运算，而且为利用待定系数法解题提供了理论基础．
策略三　用好向量的坐标表示
(1)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ACD＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为__________．
(2)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为CD的中点，若N为该菱形内任意一点(含边界)，则·的最大值为______________．
【解析】　(1)建立如图所示的平面直角坐标系，则D(2，0)．
设B(0，b)，b>0，则C(1，b)．
因为∠ACD＝90°，
所以·＝0，即(1，b)·(－1，b)＝0，解得b＝1，所以B(0，1)，C(1，1)．
设P(x，y)，＝λ(0≤λ≤1)，
则(x－2，y)＝λ(－1，1)，
得x＝2－λ，y＝λ，
即P(2－λ，λ)．
|＋3|＝|(λ－2，－λ)＋3(λ－2，1－λ)|
＝|(4λ－8，3－4λ)|
＝
＝，0≤λ≤1，
根据二次函数性质，上式当λ＝1时取最小值，故其最小值为＝.
(2)建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2，0)，C(3，)，D(1，)，M(2，)，设N(x，y)，则
·＝2x＋y，其中(x，y)所在的区域即为菱形