人教高中数学第十八讲空间几何体表面积和体积解析版.docx

第十八讲：空间几何体的表面积及体积
【考点梳理】
空间几何体的表面积与体积公式
　　　　名称
几何体　　
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
锥体(棱锥和圆锥)
台体(棱台和圆台)
球
【典型题型讲解】
考点一：空间几何体的表面积
【典例例题】
例1．（2022·广东深圳·一模）以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（    ）
A．8π B．4π C．8 D．4
【答案】．A
【详解】以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱，
其底面半径r=2，高h=2，
故其侧面积为.
故选：A
例2．（2022·广东韶关·一模）已知圆锥的侧面展开图为一个面积为的半圆，则该圆锥的高为（    ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【详解】设圆锥的母线长为l，圆锥的底面半径为，
由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，
则，解得，
则圆锥的高.
故选：D.
例3．（2022·广东惠州·一模）若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为，圆台上､下底面圆的半径分别为，（），则___________.
【答案】2
【详解】圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，
所以圆台的母线长为，
圆台的侧面积为，
所以.
故答案为：2
例4．（2022·广东揭阳·高三期末）已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，则圆柱的表面积与球的表面积之比为（    ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【详解】因为圆柱的轴截面为正方形，设圆柱底面圆的半径为，其高，其外接球的半径，则圆柱的表面积，球的表面积，则圆柱的表面积与球的表面积之比为，
故选：.
例5．（2022·广东潮州·高三期末）若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为（    ）
A． B． C． D．
【答案】．C
【详解】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，
因为圆锥的侧面积是底面积的2倍，
所以，
解得，
设该圆锥的母线与底面所成角，
则，
所以．
故选：C
【方法技巧与总结】
熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角.
【变式训练】
1．（2022·广东东莞·高三期末）已知一个圆锥的底面半径为，其侧面积为，则该圆锥的体积为___________.
【答案】
【详解】设圆锥的母线长为，
因为圆锥的底面半径，
所以圆锥的侧面积，依题意可得，解得，
所以圆锥的高，
所以该圆锥的体积.
故答案为：.
2．（2022·广东潮州·高三期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，AB平面BCD，CDAD，AB=BD=，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为_________．
【答案】
【详解】如图所示：
设CD=x，由题意得：，
在中，由余弦定理得：，
即，
即，解得或（舍去），
如图所示：
该棱锥的外接球即为长方体的外接球，
则外接球的半径为：，
所以外接球的表面积为 ，
故答案为：
3．（2021·广东佛山·一模）（多选）如图，已知圆锥的底面半径，侧面积为，内切球的球心为，外接球的球心为，则下列说法正确的是（    ）
A．外接球的表面积为
B．设内切球的半径为，外接球的半径为，则
C．过点P作平面截圆锥的截面面积的最大值为
D．设长方体为圆锥的内接长方体，且该长方体的一个面与圆锥底面重合，则该长方体体积的最大值为
【答案】．AD
【详解】因为，解得，即圆锥母线长为2，则高，
设圆锥外接球半径为，如图，
则对由勾股定理得，即，外接球面积为，故A
正确；
设内切球的半径为垂直于交于点D，如图，
则对，即，解得，故B项错误；
过点P作平面截圆锥的截面面积的最大时，如图，
因为，故恰好为等腰直角三角形时取到，点C在圆锥底面上，，故C项错误；
设圆锥有一内接长方体，其中一个上顶点为E，上平面中心为，如图，
则，当长方形上平面为正方形时，上平面面积最大，
长方体体积为，当时，时，，故
，
故D正确，
故选：AD
4.（2022·广东广州·一模）已知三棱锥的棱AP，AB，AC两两互相垂直，，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于___________.
【答案】．
【详解】由题设，将三棱锥补全为棱长为的正方体，如下