人教高中数学专题3-10 导数与数列，导数与概率统计(解析版）.docx

专题3-10导数与数列，导数与概率统计
目录
专题3-10导数与数列，导数与概率统计 1
1
题型一：利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题 1
题型二：导数与概率统计 10
22
题型一：利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题
【典例分析】
例题1．（2022·全国·高三专题练****已知正项数列满足．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）
∵，∴，
∴.
下面证明：.
令，则，
因此在上单调递减，所以，即，
∴，∴，∴，
又∵，∴，
∴
例题2．（2022·福建·三明一中高三阶段练****已知函数．
(1)证明：函数的图象与直线只有一个公共点．
(2)证明：对任意的，．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
（1）
要证函数的图象与直线只有一个交点，只需证方程只有一个根，
即证只有一个根，即只有一个根．
令，，则．
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，．
恒成立，当且仅当时，，方程只有一个根，
即函数的图象与直线只有一个公共点．
（2）
由（1）知：恒成立，
即恒成立（在时等号成立）．
，，即，
，，，…，
，，
，即．
【提分秘籍】
常见的放缩不等式如下：
①，当且仅当时取等号；
②，当且仅当时取等号；
③当时，，当且仅当时取等号；
④当时，当且仅当时取等号；
⑤当时，
⑥当且仅当时取等号；
【变式演练】
1．（2022·广西·高三阶段练****理））已知函数．
(1)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(2)设，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)
的定义域为，，
令，解得
当，，递增；
当，，递减，
当时,因为,则在上单调递增,
所以恒成立,
当时,因为,则在区间单调递增,
在区间单调递减.
又,与恒成立相矛盾.
综上, 实数的取值范围为.
(2)
由（1）知当时，
即
令，则
所以
2．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练****已知函数在处取得极值
(1)求函数的单调性；
(2)证明：对于任意的正整数，不等式都成立.
【答案】(1)增区间是，减区间是
(2)证明见解析
(1)
，为的极值点
，令
＋
－
的增区间是，减区间是；
(2)
由（1）知当时，，即
令，则，即
，
即
3．（2022·全国·高三专题练****已知函数f(x)＝ln x－ax＋1在x＝2处的切线斜率为－.
(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝，对∀x1(0，＋∞)，∃x2(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，求正实数k的取值范围；
(3)证明：＋＋…＋(n∈N*，n≥2).
【答案】(1)a＝1，增区间为，单调递减区间为
(2)
(3)证明见解析
(1)
由已知得f′(x)＝－a，∴f′(2)＝－a＝－，解得a＝1.
于是f′(x)＝－1＝，
当x(0，1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，
即f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞).
(2)
由(1)知x1(0，＋∞)，f(x1)≤f(1)＝0，即f(x1)的最大值为0，
由题意知：对∀x1(0，＋∞)，∃x2(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，只需f(x)max≤g(x)max.
∵g(x)＝，（等号成立）
∴只需，解得.
(3)
证明：要证明 (nN*，n≥2).
只需证，
只需证.
由(1)当x(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，f(x)＝ln x－x＋1≤0，即ln x≤x－1，
∴当n≥2时，，，
所以
＝，
∴.
4．（2022·湖南张家界·高二期末）已知函数，其中．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)①若恒成立，求的最小值；
②证明：，其中.
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)①1；②证明见解析
(1)
由已知条件得，其中的定义域为，
则，
当时，，当时，，
综上所述可知：的单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)
①由恒成立，即恒成立，
令，则，
当时，，当时，，
∴在上单调递增，上单调递减，
∴，  
∴的最小值为1.
②由①知：，时取“=”，
令，得，  
∴
，
当时，.