人教高中数学专题4-2 正余弦定理中的高频小题归类(解析版）.docx

专题4-2正余弦定理中的高频小题归类
目录
专题4-2正余弦定理中的高频小题归类 1
1
题型一：利用正弦定理边角互化 1
题型二：利用余弦定理边角互化 5
题型三：利用正余弦定理解三角形 10
题型四：判断三角形解的个数 16
题型五：利用正余弦定理判断三角形形状 22
题型六：三角形周长，面积问题 26
题型七：正余弦定理实际应用 32
38
一、单选题 38
二、多选题 44
三、填空题 46
题型一：利用正弦定理边角互化
【典例分析】
例题1．（2022·福建·浦城县第三中学高三期中）在中，角、、所对的边分别为、、.已知，且为锐角，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由正弦定理可知，，
，
又在中，，即，
为锐角，，
，
所以由正弦定理得：，
又，
即，
，
故可得，即，
故选：A
例题2．（2022·甘肃定西·高二开学考试）在锐角中，若，则的取值范围是______ .
【答案】
【详解】，根据正弦定理，
得：，
，，即，
为锐角，，
又，，
，即，
则的取值范围是.
故答案为：.
【提分秘籍】
利用正弦定理边角互化主要思路：
；；;
化成角后，再进行相应的运算。
【变式演练】
1．（2022·河南·高三阶段练****理））在中，D为边上一点，，若，则____________．
【答案】
【详解】在中，由正弦定理可得．又，
可得，且，
则有①．又②，①②联立，
得，即，则，
整理得，解得或．
因为， D为边上一点，
所以为钝角，所以角为锐角，所以，所以舍去，
故．
故答案为：
2．（2022·上海市金山中学高一期末）记的内角的对边分别为，已知的面积为S，且，则______．
【答案】
【详解】，则，
由正弦定理得，
故 ，∵，∴，∵，∴.
故答案为：
3．（2022·江西宜春·高二阶段练****理））在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若点M满足，且∠MAB=∠MBA，则AMC的面积为_____________.
【答案】
【详解】
化简得：
又,
∠MAB=∠MBA，,
在中，，
解之：，
，
故答案为：
题型二：利用余弦定理边角互化
【典例分析】
例题1．（2022·江苏·无锡市第一中学高三阶段练****设分别为内角的对边，若，且，则角________.
【答案】
【详解】因为,所以,即
即,所以
所以或
因为,所以
若,则
若,则,与矛盾
所以
故答案为：
例题2．（2022·黑龙江·杜尔伯特蒙古族自治县第一中学高一阶段练****中，，则最大值______．
【答案】
【详解】设，，，由余弦定理：，
所以，设，则，
代入上式得，方程有解，所以，故，
当时，此时，，符合题意，因此最大值为.
故答案为：.
例题3．（2022·全国·高三专题练****在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则的值为___________.
【答案】4
【详解】解：由余弦定理得，
又，
所以由正､余弦定理可得，
即，
则.
又，
所以，
解得(负值舍).
故答案为：4
【提分秘籍】
在中，内角，所对的边分别是,则：
；
余弦定理的推论
；
；
【变式演练】
1．（2022·广东江门·高三阶段练****在中，内角，，的对边长分别为，，，且，，则的值为（    ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【详解】由可得
，即，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
由正弦定理与余弦定理可得，
即，
因为，
所以，
解得或（舍）
故选：C
2．（2022·山西·晋城市第一中学校高三阶段练****中，，则（    ）
A． B． C． 或 D．以上都不对
【答案】B
【详解】因为，
由正弦定理得,
由余弦定理得 即
又 则
当且仅当时，即时取等，
因为,所以.
故选:B.
3．（2022·福建·高二期中）若△的边长成等差数列，且边a，c的等差中项为1，则的取值范围是________．
【答案】
【详解】，
由余弦定理可得：
由题可知，即，且，
故，
由，即可得，
又在单调递增，在单调递减，且，
故当时，，令，又单调递增，
当时，，当时，，故，即.
故答案为：.
4．（2022·四川成都·高三阶段练****理））在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若；则