人教高中数学专题05 导数与不等式（练）【解析版】.docx

第一篇 热点、难点突破篇
专题05 导数与不等式（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（文））已知，，，则，，的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意，构造函数，利用导数研究其单调性，可得答案.
【详解】由，令，则，令，则，
当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
由，则，即，
故选：C.
2．（2022·海南·高三阶段练****设，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用作差法可得，令可得，进而可推出，从而得解
【详解】因为，
又，所以，
所以，所以；
令，则恒成立，
所以在递增，所以，
所以
又，
所以，所以，
又，
所以，即；
所以，
故选：B
3．（2007·江西·高考真题（理））若，则下列命题中正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，取可判断AB选项；构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，推导出，再结合不等式的性质可判断CD选项.
【详解】对于AB选项，设，，因为，故AB均错；
对于CD选项，设，其中，则，
因为，，故存在，使得，
且当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
因为，所以，对任意的，，
当时，，所以，，C错D对.
故选：D.
4．（2022·山东聊城·高三期中）已知，，，下列说法正确的是（    ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，利用导数研究单调性可比较，，利用导数研究单调性可比较，即可求解
【详解】设，则在上恒成立，
所以在单调递增，
所以，
所以在单调递增，
所以，即，
所以，
又在单调递增，
所以，即，
所以；
设，则在上恒成立，
所以在单调递减，
所以，
所以在单调递减，
所以，即，
所以，即
所以；
综上所述：，
故选：C
5．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练****理））已知函数，若对任意的，当时，恒成立，则a的最小值是（    ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】，可看作关于的二次函数大于等于0恒成立，则判别式小于等于0恒成立，即在时恒成立，记，利用导数求出最大值即可.
【详解】，即 ，
算式可看作关于的二次函数大于等于0恒成立，
则判别式恒成立，即在时恒成立，
记，则，
，解得，，解得，
在上单调递增，在上单调递减，，
∴，则a的最小值是2，
故选：D
6．（2022·湖北·荆门市龙泉中学高三阶段练****若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据在上递增，利用同构法求解即可．
【详解】解：构造，
则在上显然递增，
由得
，
即，
，
，
令，
则，
由得，递增，
由得，递减，
，
．
二、多选题
7．（2022·湖南·宁乡一中高三期中）设函数是函数的导函数，且满足，，则（    ）
A．有极大值 B． C． D．
【答案】BD
【分析】利用构造函数法，由求得，结合导数确定正确答案.
【详解】依题意可知，
，
，设（为常数，）
所以，，
所以，
，
所以在上递增，没有极大值，A错误.
，C选项错误.
，D选项正确.
，
，B选项正确.
故选：BD
8．（2022·浙江·绍兴一中高三期中）定义在上的函数的导函数为，且
恒成立，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】因为，可得，故设，然后求导，判断单调性，分别求解每一个选项即可.
【详解】令
所以
因为，
所以
故在单调递减
所以，得，即，故A错误；
，得，即，故B正确；
，得，即，故C正确；
得，即，故D正确.
故选：BCD
三、填空题
9. （2022·河南·汝阳县一高高三阶段练****理））若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【分析】不等式转化为，构造函数，判断函数单调递增得到，转化为
，构造函数，根据函数的单调区间计算最大值即得到答案.
【详解】，即，
设，恒成立，故单调递增.
原不等式转化为，即，即，
设，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
故，故.
故答案为：.
10．（2022·四川资阳·一模（理））若，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】令，求导得到导函数，讨论，，三种情况，分别确定函数的单调区间，计算函数的最小值，通过最小值