人教高中数学专题05 基本不等式及其应用(解析版).docx

专题05 基本不等式及其应用
【考纲要求】
1、能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小
2、能初步运用基本不等式证明简单的不等式．
3、熟练掌握基本不等式及其变形的应用，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题
4、能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
【思维导图】
一、重要不等式及证明
如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．请证明此结论．
证明　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取“＝”．
二、基本不等式
1．内容：
≤，其中a≥0，b≥0，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．证明：
∵a＋b－2＝()2＋()2－2·
＝(－)2≥0.
∴a＋b≥2.
∴≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
三、基本不等式的常用推论
1．ab≤2≤(a，b∈R)．
2.＋≥2 (a，b同号)．
3．当ab>0时，＋≥2；
当ab<0时，＋≤－2.
4．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
四、基本不等式求最值
1．理论依据：
(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为.
(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2.
2．基本不等式求最值的条件：
(1)x，y必须是正数；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．
(3)等号成立的条件是否满足．
3．利用基本不等式求最值需注意的问题：
(1)各数(或式)均为正．
(2)和或积为定值．
(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．
(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．
【题型汇编】
题型一：基本不等式及其应用
题型二：利用基本不等式求最值
题型三：利用基本不等式解决实际问题
【题型讲解】
题型一：基本不等式及其应用
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题（文））已知，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】
由可得，而，所以，即，所以．
又，所以，即，
所以．综上，．
故选：A.
2．（2022·江西赣州·二模（理））在等差数列和等比数列中，有，且，则下列关系式中正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本不等式可判断两者的大小.
【详解】
设等比数列的公比为，则，故，
因为为等差数列，故，
因为为等差数列，故，故，
结合题设条件有，由基本不等式可得，
故，而，故，
故选：B.
3．（2022·宁夏·银川一中二模（理））下列不等式恒成立的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案.
【详解】
解：对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误；
对于B选项，成立的条件为，故错误；
对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误；
对于D选项，由于，故，正确.
故选：D
4．（2022·四川攀枝花·三模（理））已知，，设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求出，的表达式，再利用对数的运算法则进行变形比较与，再利用基本不等式以及函数的单调性进行判断即可.
【详解】
依题意得，，，
，
由基本不等式得：，
又为单调递增函数
即，
故选：D.
5．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据基本不等式判断．
【详解】
x，y都是正数，
由基本不等式，，，，这三个不等式都是当且仅当时等号成立，而题中，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；
中当且仅当时取等号，如即可取等号，D中不等式不恒成立．
故选：D．
6．（2022·河北石家庄·二模）已知，则x､y､z的大小关系为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
作商，由对数的性质、运算及基本不等式可比较出，再由，可比较出与的大小即可