人教高中数学专题06 函数的概念及其性质(解析版).docx

专题06 函数的概念及其性质
【考纲要求】
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).
一、函数的概念及其表示
【思维导图】
【考点总结】
一、函数的概念
(1)函数的概念：
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，xA．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
二、具体函数定义域的求法
函数的定义域是自变量x的取值范围，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指使函数关系式有意义的x的取值范围，但在实际问题中，函数的定义域还要受到实际意义的制约．
(1)求具体函数定义域的原则和方法主要有：
①若f(x)为整式，则其定义域为实数集R．
②若f(x)是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合．
③若f(x)为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合．
④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．⑤实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．
(2)求给出解析式的函数的定义域的步骤为：①列出使函数有意义的x所适合的式子(往往是一个不等式组)；②解这个不等式组；③把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．
三、抽象函数的定义域的求法
求抽象函数的定义域是学****中的一个难点问题，常见的题型有如下两种：①已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域；②已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域．下面介绍一下这两种题型的解法．
(1)已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域．
一般地，若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值范围．其实质是由
g(x)的取值范围，求x的取值范围．
(2)已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域．
函数f(g(x))的定义域为[a，b]，指的是自变量x[a，b]．一般地，若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域就是g(x)在区间[a，b]上的取值范围(即g(x)的值域)．其实质是由x的取值范围，求g(x)的取值范围．
四、函数值域的求法
(1)常见函数的定义域和值域：
①一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的定义域是R，值域是R．
②反比例函数f(x)＝(k≠0)的定义域是(－∞，0)(0，＋∞)，值域是(－∞，0)(0，＋∞)．
③二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R．
当a＞0时，值域是；当a＜0时，值域是．
(2)求函数值域的常用方法．
①观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域；
如求函数y＝的值域时，由x2≥0及4－x2≥0知[0,2]．故所求的值域为[0,2]．
②配方法：若函数是二次函数形式即可化为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间二次函数最值的求法．
③换元法：对于一些无理函数，可通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．
例如形如y＝ax＋b±的函数，我们可令＝t，将函数y转化为关于自变量t的二次函数，然后利用配方法求其值域．
④分离常数法：将形如y＝(a≠0)的函数，
分离常数，变形过程为＝＝＋，再结合x的范围确定的取值范围，从而确定函数的值域．
(3)求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累．除了上述常用的方法外，还有最值法、数形结合法等，应注意选择最优的解法．总之，求函数的值域关键是要重视对应关系的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．
五、分段函数
(1)定义：有些函数在其定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数．分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几条线段．
六、函数解析式的求法
求函数的解析式的常用方法有：
(1)代入法：如已知f(x)＝x2－1，求f(x＋x2)时，有f(x＋x2)＝(x2＋x)2－1．
(2)待定系