人教高中数学专题09 解三角形（解析版）.docx

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专题09 解三角形
【练基础】
一、单选题
1．（2023·四川内江·统考一模）的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，，则（    ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理角化边，可求得c的值，再由余弦定理即可求得答案.
【详解】解：因为，所以，即.
又，所以，
由余弦定理得 ,
从而.
故选：B
2．（2023·广西柳州·二模）在中，内角所对的边分别为，点为的中点，，，且的面积为，则（    ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】在中由余弦定理得，由，得，即可解决.
【详解】由题知，在中，点D为的中点，，，且的面积为，
所以在中由余弦定理得，即，
因为，即，代入，
所以，即，
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所以，
所以，
故选：B
3．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）如图是一款订书机，其内部结构可简化为如图模型.使用时将B下压，E接触平台，D紧邻E，此时钝角增大了（    ）（参考数据：，，.）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意结合余弦定理运算求解.
【详解】如图1，过点A作，，垂足为，，则，
故，
连接，在中，由余弦定理可得：，即，
∵，即此时为锐角，
如图2 ，设平台，即三点重合，则，
连接，在中，由余弦定理可得：，
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在中，由余弦定理可得：，
则，
整理得，即，
又∵，则，
此时钝角增大的值大于，符合题意的只有D选项.
故选：D.
4．（2022秋·河南·高三洛阳市第一高级中学校联考阶段练****已知中，设角、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为，若，则的值为（    ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】首先根据正弦定理将等式中的角转化成边得：，通过余弦定理可将等式化简整理为，通过三角函数图像可知，同时通过基本不等式可知，即得，通过取等条件可知，，将其代入问题中即可求解答案.
【详解】已知
由正弦定理可知：，
，
整理得：，
两边同除得：，
根据余弦定理得：，即，
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，，，当且仅当，即时等号成立.
又，当且仅当时，等号成立.
综上所述：且，
故得：，此时且，
，.
故选：B
5．（2022·云南红河·校考模拟预测）在中，角的对边分别为，的面积为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形面积公式，正弦定理角化边，余弦定理结合即可解决.
【详解】由题知，的面积为，
所以，即
所以由正弦定理得，即，
所以，
因为，
所以．
故选：D
6．（2022·四川·模拟预测）在中，角的对边分别为，已知三个向量，共线，则的形状为（    ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．有一个角是的直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】由向量共线的坐标运算可得，利用正弦定理化边为角，再展开二倍角公式整理可得，结合角的范围求得，同理可得，则答案可求．
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【详解】向量，共线，，
由正弦定理得：，
，则，
，，，即．
同理可得．
形状为等边三角形．
故选：A．
7．（2023·上海·高三专题练****如图，在中，已知，D是边上的一点，，则的长为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由余弦定理求出，得到，由正弦定理进行求解出答案.
【详解】在中，由余弦定理得：，
因为，
所以，
在中，由正弦定理得：，即，
解得：
故选：D
8．（2022·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知在中，．若与的内角平分线交于点，的外接圆半径为，则面积的最大值为（    ）
A． B．
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C． D．
【答案】C
【分析】由正弦定理结合已知条件可求得，可得出，再利用等面积法可得出内切圆半径的表达式，结合基本不等式可求得面积的最大值.
【详解】由及正弦定理可得，
，所以，，则，所以，，
所以，的外接圆直径为，
设内角、、的对边分别记为、、，则，所以，，
设的内切圆半径为，则，所以，，
因此，，
因为，
所以，，当且仅当时，等号成立，
因此，面积的最大值为.
故选：C.
二：多选题
9．（2022秋·广东肇庆·高三肇庆市第一中学校考阶段练****的内角A，，的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是 （    ）
A．若，则
B．若，则此三角形为等腰三角形
C．若，，，则解此三角形必有两解
D．若是锐角三角形，则
【