人教高中数学专题13 等差数列和等比数列的计算和性质（分层训练）（解析版）.docx

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专题13 等差数列和等比数列的计算和性质
【练基础】
单选题
1．（2021秋·广东深圳·高三深圳市龙华中学校考阶段练****记为等差数列的前n项和．已知，则
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．
【详解】由题知，，解得，∴，故选A．
【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．
2．（2021·云南·统考二模）已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意利用等差数列的性质、等差数列的前项和公式，得出结论．
【详解】∵，
∴，
故选：A
3．（2022秋·福建莆田·高三校考期中）等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则前6项的和为（    ）
A．    B．    C．3     D．8
【答案】A
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【分析】设等差数列的公差，由成等比数列求出，代入可得答案.
【详解】设等差数列的公差，
∵等差数列的首项为1， 成等比数列，
∴，
∴，且，，
解得，
∴前6项的和为.
故选：A.
4．（2022·四川遂宁·统考模拟预测）已知数列的前n项和为，满足，则（    ）
A．4043 B．4042 C．4041 D．4040
【答案】A
【分析】由等差中项的性质及等差数列的定义写出通项公式，再由关系求的通项公式，进而求.
【详解】由知：为等差数列，
又，，则公差，
所以，故，
则，可得，而也满足，
所以，则.
故选：A
5．（2022·全国·高三专题练****已知为等比数列，的前n项和为，前n项积为，则下列选项中正确的是（    ）
A．若，则数列单调递增
B．若，则数列单调递增
C．若数列单调递增，则
D．若数列单调递增，则
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【答案】D
【分析】根据等比数列的前n项和公式与通项公式可得与，进而可得、取值同号，即可判断A、B；
举例首项和公比的值即可判断C；
根据数列的单调性可得，进而得到，求出，即可判断D.
【详解】A：由，得，即，则、取值同号，
若，则不是递增数列，故A错误；
B：由，得，即，则、取值同号，
若，则数列不是递增数列，故B错误；
C：若等比数列，公比，则，
所以数列为递增数列，但，故C错误；
D：由数列为递增数列，得，所以，
即，所以，故D正确.
故选：D
6．（2022·全国·高三专题练****已知数列满足，则数列的前5项和为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出，得到，利用裂项相消法求和.
【详解】因为，
所以.
所以前5项和为
故选：D
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7．（2022·全国·高三专题练****已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，那么的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设等差数列、的公差分别为、,由题意利用等差数列的性质求出它们的首项、公差之间的关系,可得结论.
【详解】设等差数列的公差分别为和
,即
,即 ①
,即 ②
由①②解得

故选：C
8．（2023·全国·高三专题练****几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学****数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是
A．440 B．330
C．220 D．110
【答案】A
【详解】由题意得，数列如下：
则该数列的前项和为
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，
要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，
所以，则，此时，
所以对应满足条件的最小整数，故选A.
点睛:本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.
二、多选题
9．（20