人教高中数学专题13 利用导数研究不等式能成立问题(解析版).docx

专题13 利用导数研究不等式能成立问题
已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
①一般地，，使得有解，则只需；
②，使得有解，则只需。
一、单选题
1．已知，若∃，使，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【解析】依题意可得不等式在内有解，设，，
则，
由，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，，所以，所以.故选：A.
2．若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】存在，不等式成立，
则，能成立，即对于，成立，
令，，则，令，
所以当，单调递增，
当，单调递减，又，所以f(x)>−3，
所以.故选：C
3．已知函数，若在定义域内存在，使得不等式成立，则实数m的最小值是（       ）
A．2 B． C．1 D．
【解析】函数的定义域为，.
令，得或（舍）.
当时，；当时，.
所以当时，取得极小值，也是最小值，且最小值为1.
因为存在，使得不等式成立，所以，所以实数m的最小值为1.故选：C
4．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】依题意：，令，
则，令，
则，易知单调递增，，所以单调递增，
故，故，则在上单调递增，故，
即实数的取值范围为，故选：B.
5．已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的最大值为（       ）
A．7 B．5 C． D．3
【解析】因为，所以，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
因为，，，，
所以当时，，
因为，所以在区间上单调递减，
所以当时，，
因为对任意，总存在，使得成立，所以，即，
所以实数的最大值为3，故选：D
6．已知定义在上的函数，对任意，当时，都有，若存在，使不等式成立，则实数的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【解析】因为对任意，当时，都有，所以在上单调递增，
则等价于，即，
令，，，
因为，所以，，所以，所以在上单调递减，
所以，即，所以的最大值为；故选：B
7．已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【解析】因为，所以，
因为在区间上存在单调递减区间，所以存在，使得，
即，令，，则恒成立，
所以在上单调递增，所以，所以.故选：A
8．已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】的定义域为，，
∵当时， ，当时， ，
∴在上单调递增，在上单调递减，即，
又∵存在，使得成立，∴ ，解得，则实数的取值范围为，
故选：D.
9．已知使得不等式成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【解析】由题意可得：使得不等式成立.
令则.
而，，
所以当时，，所以在单调递增，所以，所以，
所以在上单调递增，因为，所以，故实数a的取值范围为.
故选：A
10．已知函数，，若存在、，使得成立，则的最大值为（       ）
A． B．1 C． D．
【解析】，，
对于函数，，，
所以在上，，单调递增，又，
所以，，所以，则，
令，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，即当时，取得最大值.故选：A
二、多选题
11．若关于的不等式在上有解，则实数的取值可以是（       ）．
A． B．1 C． D．
【解析】依题意，问题等价于关于的不等式在上有解．令，，则．令，，则，易知单调递增，，所以单调递增，故，故，则在上单调递增，故，即实数的取值范围为．故选：ABC
12．已知函数，，若，，使得成立，则a的取值可以是（       ）
A．0 B． C． D．
【解析】，
当时，，当时，，
所以在上递减，在，上递增，故当，时，，
对于二次函数，该函数开口向下，
所以其在区间，上的最小值在端点处取得，
所以要使对，，，，使得成立，只需，
因为函数开口向下，所以当，时，（1），（2），
所以或，所以或，解得．故选：AD.
三、填空题
13．已知函数，若，则实数a的取值范围是___________.
【解析】由，可得，
令，则，
∴，函数单调递增，，函数单调递减，
所以时