人教高中数学专题14 圆锥曲线中的证明问题（解析版）.docx

专题14 圆锥曲线中的证明问题
一、考情分析
圆锥曲线中的证明问题在高考时有出现,主要有两大类：一是证明点线位置关系,如直线或曲线过某个点、直线平行与垂直、直线对称等问题,二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系,如相等与不相等.
二、解题秘籍
(一)证明直线或圆过定点
证明直线过定点,通常是设出直线方程,由已知条件确定的关系.若,则,则直线过定点,证明圆过定点,常见题型是证明以AB为直径的圆过定点P,只需证明.
【例1】（2023届重庆市南开中学校高三上学期质量检测）已知椭圆C：的离心率为,椭圆的上顶点B到两焦点的距离之和为4．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：与椭圆C交于异于点B的两点P,Q,直线BP,BQ与x轴相交于,,若,求证：直线过一定点,并求出定点坐标．
【解析】（1）∵,,∴,,．
故椭圆方程为；
（2）联立直线和椭圆可得,解得,
于是有：,
,．
由题意BP：,BQ：,
分别和联立得,,,
由,得,即
整理得,
整理得,解得或者．
当时,直线过点B,与题意矛盾,应舍去.
故直线的方程为：,过定点为．
【例2】（2023届福建省福州华侨中学高三上学期第二次考试）在平面直角坐标系中,已知点,直线,点M到l的距离为d,若点M满足,记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与C交于P,Q两点,设,证明：以P,Q为直径的圆经过点A．
【解析】（1）设点,则,
由,得,两边平方整理得,
则所求曲线的方程为.
（2）设直线的方程为,
联立方程,消去并整理得,
因为直线与交于两点,故,此时,
所以,而.
又,
所以
所以,即以P,Q为直径的圆经过点A.
(二) 证明与斜率有关的定值问题
证明与斜率有关的定值问题通常是证明斜率之和或斜率之积为定值问题,此类问题通常是把斜率之和或斜率之积用点的坐标表示,再通过化简使结果为定值,此外证明垂直问题可转化为斜率之积为,证明两直线关于直线或对称,可转化为证明斜率之和为0.
【例3】（2023届河南省安阳市高三上学期10月月考）已知椭圆的左､右焦点分别为
,,,面积为的正方形ABCD的顶点都在上.
(1)求的方程；
(2)已知P为椭圆上一点,过点P作的两条切线和,若,的斜率分别为,,求证：为定值.
【解析】（1）根据对称性,不妨设正方形的一个顶点为,
由,得,
所以,整理得.①
又,②
由①②解得,,
故所求椭圆方程为.
（2）由已知及（1）可得,
设点,则.
设过点P与相切的直线l的方程为,
与联立消去y整理可得,
令,
整理可得,③
根据题意和为方程③的两个不等实根,
所以,
即为定值.
【例4】（2023届天津市第四十七中学高三上学期测试）已知椭圆：的右焦点和上顶点均在直线上.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点,若过点的直线与椭圆交于不同的两点,.直线和直线的斜率分别为和,求证：为定值.
【解析】（1）对于直线,当时,,当时,,
因为椭圆的右焦点和上顶点均在直线上,
所以,
所以,
所以椭圆方程为,
（2）因为在椭圆外,过点的直线与椭圆交于不同的两点,
所以直线的斜率一定存在,
所以设直线方程为,设,
由,得,
,得,
,
因为,,
所以
(三) 证明与线段长度有关的等式
证明与线段长度有关的等式问题,一般是利用距离公式或弦长公式写出长度表达式,再借助根与系数之间的关系或斜率、截距等证明等式两边相等.
【例5】（2023届江苏省高三上学期起航调研）在平面直角坐标系xOy中,抛物线．,为C上两点,且,分别在第一、四象限．直线与x正半轴交于,与y负半轴交于．
(1)若,求横坐标的取值范围；
(2)记的重心为G,直线,的斜率分别为,,且．若,证明：λ为定值．
【解析】（1）设,
∵,∴,即,∴,
直线的方程为：,
整理可得,,令,则,
即横坐标的取值范围；
（2）的重心为,,
∴,又,且,
∴,化简得,,
∵,
∴,
.
即,所以λ为定值．
【例6】已知双曲线的离心率是,点是双曲线的一个焦点,且点到双曲线的一条渐近线的距离是2.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)设点在直线上,过点作两条直线,直线与双曲线交于两点,直线与双曲线交于两点.若直线与直线的倾斜角互补,证明：.
【解析】根据双曲线的对称性,不妨设,其渐近线方程为,
因为焦点到双曲线的一条渐近线的距离是2.
所以,
因为双曲线的离心率是,
所以,,解得
所以,双曲线的标准方程为.
（2）证明：由题意可知直线的斜率存在,设