人教高中数学专题14 直线与圆（解析版）.docx

专题14 直线与圆
1、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
【解析】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
2、（2020全国Ⅲ文）在平面内，是两个定点，是动点．若，则点的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
【答案】A
【解析】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则：，设，可得：，
从而：，结合题意可得：，
整理可得：，即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆．故选：A．
3、（2020全国Ⅲ文8）点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A． 1 B． C． D． 2
【答案】B
【解析】由可知直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即为．
4、（2020·新课标Ⅰ文）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A． 1 B． 2
C． 3 D． 4
【答案】B
【解析】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，
设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，
根据弦长公式最小值为．
5、（2020·新课标Ⅱ文理5）若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，∴圆心必在第一象限，设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为．由题意可得，可得，解得或，∴圆心的坐标为或，圆心到直线的距离均为，
∴圆心到直线的距离为．故选B．
6、（2020全国Ⅰ理11】已知⊙，直线，为上的动点，过点作⊙的切线，切点为，当最小时，直线的方程为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，∴直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，
∴，而，
当直线时，，，此时最小．
∴即，由解得，．
∴以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程，故选D．
7、．【2022年全国甲卷】设点M在直线2x+y−1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为______________．
【答案】(x−1)2+(y+1)2=5
【解析】：∵点M在直线2x+y−1=0上，
∴设点M为(a,1−2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴(a−3)2+(1−2a)2=a2+(−2a)2=R，
a2−6a+9+4a2−4a+1=5a2，解得a=1，
∴M(1,−1)，R=5，
⊙M的方程为(x−1)2+(y+1)2=5.
故答案为：(x−1)2+(y+1)2=5
8、【2020年高考天津卷12】已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．
【答案】5
【解析】因为圆心到直线的距离，由可得
，解得．
9、【2022年全国甲卷】若双曲线y2−x2m2=1(m>0)的渐近线与圆x2+y2−4y+3=0相切，则m=_________．
【答案】33
【解析】解：双曲线y2−x2m2=1m>0的渐近线为y=±xm，即x±my=0，
不妨取x+my=0，圆x2+y2−4y+3=0，即x2+y−22=1，所以圆心为0,2，半径r=1，
依题意圆心0,2到渐近线x+my=0的距离d=2m1+m2=1，
解得m=33或m=−33（舍去）．
故答案为：33．
10、【2022年全国乙卷】过四点(0,0),(4,0),(−1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】x−22+y−32=13或x−22+y−12=5或x−432+y−732=659或x−852+y−12=16925；
【解析】依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
若过0,0，4,0，−1,1，则F=016+4D+F=01+1−D+E+F=0，解得F=0D=−4E=−6，
所以圆的方程为x2+y2−4x−