人教高中数学专题15 数列的求和方法和不等式问题（分层训练）（解析版）.docx

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专题15 数列的求和方法和不等式问题
【练基础】
单选题
1．（2021·北京海淀·统考模拟预测）已知数列若，，则该数列的前六项和为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件,分别求出前六项,计算求和即可.
【详解】因为
可得
又因为,,所以
所以数列的前六项和为.
故选:
2．（2022秋·安徽滁州·高三校考期中）若数列满足，则的前2022项和为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数列奇偶交替的性质相加求和即可.
【详解】当为奇数时，，当为偶数时，，
.
故选：D
3．（2022秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知数列的前n项和满足，若数列满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】已知，则有，做差求，再检验，求出的通项公式，代入求，裂项法求和计算结果.
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【详解】，
当时，
，
当时，，，，所以
.
故
，
故选：D.
4．（2022秋·河南洛阳·高三孟津县第一高级中学校考阶段练****已知数列满足，且，，则（    ）
A．2021 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意整理得，结合等差数列通项公式可得，再利用裂项相消运算处理．
【详解】∵，即，则
∴数列是以首项，公差的等差数列
则，即
∴
则
故选：B．
5．（2022·安徽滁州·校考模拟预测）已知数列的首项，且满足，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）
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A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用累加法求出的通项公式，即可得到，再利用裂项相消法求出，即可求出的取值范围；
【详解】解：因为，所以，，，……，，
所以，又，即，所以，
所以，
所以
所以的取值范围是.
故选：C
6．（2022·广东广州·校联考三模）已知数列满足，，则数列的前2022项和为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得出为等差数列，即可求出，进而得出，利用裂项相消法可求出.
【详解】当时，；当时.
所以，所以.
因为，
所以，
所以是一个首项为3，公差为1的等差数列，所以，故.
所以，
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所以.故选：A
7．（2022·全国·高三专题练****已知数列满足，则下列有可能成立的是（    ）
A．若为等比数列，则
B．若为递增的等差数列，则
C．若为等比数列，则
D．若为递增的等差数列，则
【答案】B
【分析】若为等比数列，可得，进而可得可判断AC；若为递增的等差数列，利用累乘法可得，再利用裂项相消法可得，利用累加法可得，进而可得，可判断BD.
【详解】因为，
∴，即，
若为等比数列，则的公比为，
∴，
由，可得，
∴，故AC错误；
若为递增的等差数列，，公差，
由则，
∴，
∴，即，
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∴，
∴
，
又，
∴，又
则，
∴当时，不等式恒成立，
故，故B正确，D错误.
故选：B.
8．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练****我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为斤，设，则（    ）
A． B．7 C．13 D．26
【答案】C
【分析】根据题意求得每次收的税金，结合题意得到，求得的值，代入函数的解析式，即可求解.
【详解】由题意知：这个人原来持金为斤，
第1关收税金为：斤；第2关收税金为斤；
第3关收税金为斤，
以此类推可得的，第4关收税金为斤，第5关收税金为斤，
所以，
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即，解得，
又由，所以.
故选：C.
二、多选题
9．（2022秋·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考期末）数列满足，，则下列说法正确的是（    ）
A．若且，数列单调递减
B．若存在无数个自然数，使得，则
C．当或时，的最小值不存在
D．当时，
【答案】ACD
【分析】A选项，根据求出，再由求出，从而得到且，数列单调递减，A正确；
B选项，可举出反例；
C选项，由或时，可证得数列单调递减，所以最小