人教高中数学专题15 已知函数的单调区间求参数的范围(解析版).docx

专题15 已知函数的单调区间求参数的范围
一、单选题
1．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用导函数研究原函数的单调性，利用单调性求解实数的取值范围．
【详解】
解：函数
则
上，
要使函数在区间上单调递增，
在上恒成立，
即：在上恒成立，
上，
故选：．
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2．已知函数，函数的图象过定点，对于任意，有，则实数的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由图象过定点可得，设，结合已知条件可得在递增，求的导数，令，由二次函数的性质可得，从而可求出实数的范围.
【详解】
解：因为的图象过定点，所以，解得，
所以，因为对于任意，
有，则，设，
即，
所以，令，
因为，则，所以要使在恒成立，只需，
故，整理得，解得，
故选:A.
【点睛】
关键点睛：
本题的关键是由已知条件构造新函数，并结合导数和二次函数的性质列出关于参数的不等式.
3．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由函数的单调性与导数的关系得出在区间上恒成立，将问题转化为求，即可得出答案.
【详解】
在区间上恒成立，则在区间上恒成立
即
故选：A
4．函数是上的单调函数，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
函数在上时单调函数，等价于导函数大于等于或小于等于恒成立，列不等式求出的范围即可．
【详解】
函数是上的单调函数，即或(舍)在上恒成立
，解得
故选：D
【点睛】
本题考查导数解决函数的单调性问题，考查二次函数的性质，属于基础题．
5．已知函数在，上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
求导得到，然后根据在，上为增函数，在上为减函数，由
求解.
【详解】
已知函数，
则，
因为在，上为增函数，在上为减函数，
所以，即，
解得 ，
所以实数的取值范围为
故选：B
【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性以及二次函数与根的分布，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.
6．函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
函数在上单调递增，所以在上恒成立，求函数的导函数，参变分离求最值即可.
【详解】
解：因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立.
即，即，解得：或.
检验，当时，不是常函数，所以成立.
故选：D
【点睛】
本题考查已知函数的单调性求参数的范围，属于中档题.
方法点睛：
（1）已知在区间上单调递增，则导函数大于等于0恒成立；
（2）分类讨论或参变分离，求出最值即可.
易错点睛：
必须检验等号成立的条件，有可能取等号的时候是常函数，所以需要检验取等时是否是常函数.
7．对任意的，都有，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】
令，问题转化为函数在递增，求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出的最大值即可．
【详解】
，，
，，
令，则函数在递增，
故，
解得：，所以是的子集，
可得，故的最大值是，
故选：B．
【点睛】
利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围．
8．函数单调递增的必要不充分条件有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求导，把问题转化为在区间恒成立，分三种情况讨论即可得出结论。判断选项即可.
【详解】
由函数在区间单调递增，
则在区间恒成立，
即在区间恒成立，
①当时，，不满足题意；
②当时，，
又，
即，不满足题意；
③当时，，
又， 在区间恒成立，
则，
综上：函数单调递增的充要条件为，
判断选项A正确.
故选：A.
【点睛】
思路点睛：利用导数研