人教高中数学专题15 圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题（解析版）.docx

专题15 圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题
一、考情分析
圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题是近年高考的热点,探索性问题通常为探索是否存在符合的点、直线或结果是否为定值,求解时一般是先假设结论存在,再进行推导,有时也会出现探索曲线位置关系的试题,结构不良问题时,兼顾开放性与公平性,形式不固化,问题条件或数据缺失或冗余、问题目标界定不明确、具有多种评价解决方法的标准等特征,选择不同的条件,解题的难度是有所不同的,能较好地考查学生分析问题解决问题的能力.
二、解题秘籍
(一) 解决探索性问题与不良结构问题的注意事项及方法
1.解决探索性问题的注意事项
探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件；
(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法．
2．存在性问题的求解方法
(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．
3.结构不良问题的主要特征有：①问题条件或数据部分缺失或冗余；②问题目标界定不明确；③具有多种解决方法、途径；④具有多种评价解决方法的标准；⑤所涉及的概念、规则和原理等不确定．
【例1】（2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考）已知双曲线经过点,两条渐近线的夹角为,直线交双曲线于两点.
(1)求双曲线的方程.
(2)若动直线经过双曲线的右焦点,是否存在轴上的定点,使得以线段为直径的圆恒过点？若存在,求实数的值；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）两条渐近线的夹角为,渐近线的斜率或,即或；
当时,由得：,,双曲线的方程为：；
当时,方程无解；
综上所述：双曲线的方程为：.
（2）由题意得：,
假设存在定点满足题意,则恒成立；
方法一：①当直线斜率存在时,设,,,
由得：,,
,,
,
,
整理可得：,
由得：；
当时,恒成立；
②当直线斜率不存在时,,则,,
当时,,,成立；
综上所述：存在,使得以线段为直径的圆恒过点.
方法二：①当直线斜率为时,,则,,
,,,
,解得：；
②当直线斜率不为时,设,,,
由得：,,
,,
；
当,即时,成立；
综上所述：存在,使得以线段为直径的圆恒过点.
【例2】（2023届云南省师范大学附属中学高三上学期月考）已知双曲线的右焦点为,从①虚轴长为；②离心率为2；③双曲线的两条渐近线夹角为中选取两个作为条件,求解下面的问题.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点,为坐标原点,记面积分别为,若,求直线的方程.
（注：若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.）
【解析】（1）若选①②,可知解得
∴C的方程为.
若选①③,因为,∴∴
∴C的方程为.
若选②③,设递增的渐近线的倾斜角为,可知则
此时无法确定a,b,c
（2）,由题意知,直线l斜率不为0,∴设直线.
由得,
设,,则可知且恒成立,
,,∴或.
,∴.
由,得,∴,
∴,满足或.
∴直线l的方程为或.
(二)是否存在型探索性问题
求解此类问题一般是先假设存在,再根据假设看看能否推导出符合条件的结论.
【例3】（2022届天津市南开中学2高三上学期检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为、,且也是抛物线：的焦点,为椭圆与抛物线在第一象限的交点,且．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于,两点,问是否在轴上存在一点,使得当变动时,总有？说明理由．
【解析】（1）也是抛物线：的焦点,,
,且抛物线的准线方程为,
设点,
,,,
,,
,解得,,
椭圆方程为；
（2）假设存在满足设,,
联立,消整理得,
由韦达定理有,,其中恒成立,
由显然,的斜率存在,故,即,
由,两点在直线上,故,,
代入整理有,
将代入即有：,要使得与的取值无关,当且仅当““时成立,
综上所述存在,使得当变化时,总有．
(三) 探索直线是否过定点
求出此类问题一般是设出直线的斜截式方程,然后根据已知条件确定的关系式,再判断直线是否过定点.
【例4】（2022届北京市房山区高三上学期期末）已知椭圆的离心率为,分别为椭圆的上、下顶点,且.
（1）求椭