人教高中数学专题18 空间向量在立体几何中的应用（角和距离）分层训练 （解析版）.docx

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专题18 空间向量在立体几何中的应用（角和距离）
【练基础】
单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）在正方体中，E，F分别为的中点，则（    ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】A
【分析】证明平面，即可判断A；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面，，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.
【详解】解：在正方体中，
且平面，
又平面，所以，
因为分别为的中点，
所以，所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故A正确；
选项BCD解法一：
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，
则，
，
则，，
设平面的法向量为，
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则有，可取，
同理可得平面的法向量为，
平面的法向量为，
平面的法向量为，
则，
所以平面与平面不垂直，故B错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故C错误；
因为与不平行，
所以平面与平面不平行，故D错误，
故选：A.
选项BCD解法二：
解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线，
在内，作于点，在内，作，交于点，连结，
则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角，
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由勾股定理可知：，，
底面正方形中，为中点，则，
由勾股定理可得，
从而有：，
据此可得，即，
据此可得平面平面不成立，选项B错误；
对于选项C，取的中点，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误；
对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则，
由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误；
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故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练****下图为正三棱柱的一个展开图，若A，，，D，，六点在同一个圆周上，则在原正三棱柱中，直线AE和直线BF所成角的余弦值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据六点共圆，设原正三棱柱的底面边长为2a，高为2b，圆的半径为r，数形结合，列出方程，可得，分别求得和的值，代入向量求夹角公式，即可得答案.
【详解】六点共圆的示意图如图所示．
设原正三棱柱的底面边长为2a，高为2b，圆的半径为r．
则有方程组，解得．
从而在原正三棱柱中，高为底面边长的倍．
设直线AE和直线BF所成角为，则．
由勾股定理，；
所以．
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故选：A
【点睛】本题属于中档偏难题，涉及的知识点较多，主要考查几何体的展开图、异面直线所成的角等．题干以“六点共圆”为条件，是创新的体现，需要熟练掌握．
3．（2022秋·湖北黄冈·高三校考期中）平行六面体中，，则与底面所成的线面角的正弦值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，相交于点，依题意可得平面，从而得到平面平面，则是与底面所成角，利用锐角三角函数求出，建立如图所示空间直角坐标系，求出点的坐标，即可得到点的坐标，利用空间向量法求出线面角的正弦值．
【详解】解：如图所示，连接，相交于点，连接．
平行六面体中，且，
不妨令
，，都是等边三角形．
是等边三角形．
，，，平面
平面，平面，
平面平面，
是与底面所成角．
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因为，，所以．
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
其中的坐标计算如下，过 作交于点，
因为，，所以，
所以，，
因为
所以，所以，
显然平面的法向量为，
设与底面所成的角为，则
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故选：A
4．（2023·全国·高三专题练****在矩形ABCD中，O为BD中点且，将平面ABD沿对角线BD翻折至二面角为90°，则直线AO与CD所成角余弦值为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线AO与CD所成角余弦值.
【详解】在平面中过作，垂足为；
在平面中过作，垂足为.
由于平面平面，且交线为，
所以平面，平面，
设，
，
同理可得，
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
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，
设与所成角为，
则.
故选：C
5．（2023·全国·高三专题练****如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（    ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用坐标法，设，可得动点P到直线的距离为，然后利用二次函数的性质即得.
【