人教高中数学专题18 立体几何空间距离与截面100题(解析版).docx

专题18 立体几何空间距离与截面100题
任务一:空间中的距离问题1-60题
一、单选题
1．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两塹堵，斜解塹堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马中，侧棱底面，且，，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用等体积法有，即可求到平面的距离.
【详解】
设到平面的距离为，则三棱锥PABD的体积为：
，即有，
∴．
故选：B．
2．已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题首先可根据题意得出，然后求出与，最后根据空间点到直线的距离公式即可得出结果.
【详解】
因为，，所以，
则，，
由点到直线的距离公式得，
故选：A.
3．在中，，，若平面，，则点到的距离是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】B
【分析】
取的中点，连接、，即可得到，再由线面垂直，得到，从而得到面，即可得到，再由勾股定理求出即可；
【详解】
解：如图，取的中点，连接、，
因为，所以，又平面，平面，所以，，面，所以面，面，所以，在中，，，所以，在中，，，所以
故选：B
4．在四面体中，PA，PB，PC两两垂直，设，则点P到平面ABC的距离为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
取中点，连结，作平面，交于，由此能求出点到平面的距离．
【详解】
解：在四面体中，，，两两垂直，，
，
取中点，连结，作平面，交于，
则，
，
点到平面的距离．
故选：．
5．已知直线l的方向向量为，点在l上，则点到l的距离为（ ）
A． B．1 C．3 D．2
【答案】B
【分析】
结合点到直线距离公式分别计算模长与夹角的正弦值即可计算.
【详解】
由题可知，点到l的距离为，，，，，则
，则，故点到l的距离为.
故选：B
6．已知棱长为2的正方体，E，F分别为和的中点，则点B到EF的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
在正方体中解，再在中用面积法求边上的高.
【详解】
连接、、，则为与中点，
因为E为的中点，所以,
又正方体边长为2，所以
，，，
，
设B到EF的距离为，则
，.
故选：A
7．若平面的一个法向量为，点，，，，到平面的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
求出，点A到平面的距离：，由此能求出结果
【详解】
解：，，，，
∴ 为平面的一条斜线，且
∴ 点到平面的距离：
故选：B.
8．已知，则点A到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求得，得到向量在方向上的投影为，进而求得点A到直线的距离．
【详解】
由，可得，
则向量在方向上的投影为，
所以点A到直线的距离．
故选：A.
9．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
建立空间直角坐标系，将点P到直线CC1的距离的最小值转化为异面直线D1E与CC1的距离，利用空间向量可求得结果.
【详解】
以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则E(1,2,0)，D1(0,0,2)，,,
，，,
设(x，y，z)，,，
则(x，y，z)·(0,0,2)＝0，∴z＝0，
＝(x，y，z)·(－1，－2,2)＝，∴y＝-x，
令x＝1，则y＝-，∴u＝(1,-,0)，
∴异面直线D1E与CC1的距离为d＝，
∵P在D1E上运动，∴P到直线CC1的距离的最小值为d＝.
故选：A.
10．如图所示的三棱锥，平面，，若，，，，当取最大值时，点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】D
【分析】
由题意，易知，由基本不等式可得当取最大值时，的值，再由等体积法可求得点到平面的距离.
【详解】
解：平面，，
又，，，
，
（当且仅当时等号成立），
所以当取最大值时，，
平面，，又，且，
平面，，
设点到平面的距离为，由，
即，即，
所以，即是点到平面的距离为5.
故选：D.
11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E