人教高中数学专题18 圆锥曲线的几何性质问题（练）【解析版】.docx

第一篇 热点、难点突破篇
专题18 圆锥曲线的几何性质问题（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则（    ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据抛物线焦半径公式列出方程，求出的值.
【详解】由抛物线定义知：，所以，解得：.
故选：A
2．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上不同两点，且中点的横坐标为，则（    ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】D
【分析】根据抛物线焦半径公式求解即可.
【详解】解：由题知，即，设，
因为中点的横坐标为，所以，
所以，由抛物线焦半径公式得
故选：D．
3．（2023·高三课时练****已知椭圆的左准线为l，左、右焦点分别为、，抛物线的准线也为l，焦点是，与的一个交点为点P，则的值等于（    ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】由椭圆方程得出，即可得椭圆的离心率，设到准线的距离为，由是抛物线上的点得，由是椭圆上的点得，且，从而可求得．
【详解】椭圆中，，，，因此左准线的方程为即，又，设到准线的距离为，
由是抛物线上的点得，
由是椭圆上的点得，且，解得．
故选：B．
4．（2023·全国·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，为坐标原点，记与的面积分别为和，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出直线，联立，得到两根之和，两根之积，得，，，利用基本不等式即可求出最值.
【详解】由题意得：，设直线，联立得：
，设，不妨令，
则，
故，
，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：B
5．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线l交双曲线于A，B两点，A，B分别位于第一、第二象限，为等边三角形，则双曲线的离心率（    ）
A． B．5 C． D．7
【答案】C
【分析】设,由图形性质结合双曲线的定义求出，取的中点，利用勾股定理求出，从而得出答案.
【详解】设题意，设，则
则，
由双曲线的定义可得，所以
取的中点，连接,由为等边三角形，则,且
所以，
所以，所以
故选：C
6．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点的坐标为，点是双曲线在第二象限的部分上一点，且，，则双曲线的离心率为（    ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】由角平分线的性质可得及双曲线的定义，化简方程即可求双曲线的离心率.
【详解】如图，
因为，所以，由可得，
由双曲线定义可知，
由知：平分，
所以，即，整理得：，
由，，可化简为，
即，可得，解得或（舍去），
故选：B
二、多选题
7．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知非零常数a，若点A的坐标为，点B的坐标为，直线与相交于点P，且它们的斜率之积为非零常数，那么下列说法中正确的有（    ）．
A．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的椭圆
B．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是圆心在原点的圆
C．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在y轴上的椭圆
D．当时，点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的双曲线
【答案】BD
【分析】设点P的坐标为，根据已知条件，求得轨迹方程，然后根据平方项的系数的正负，同号异号，同号时相等与否分类讨论即可判断.
【详解】设点P的坐标为，则，所以.
当时，，即，
所以点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在y轴上的椭圆，故A错误.
当时，，
所以点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是圆心在原点的圆，故B正确.
当时，，
所以点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的椭圆，故C错误.
当时，，
所以点P的轨迹加上A，B两点所形成的曲线是焦点在x轴上的双曲线，故D正确.
故选：BD
三、填空题
8．（2023·高三课时练****已知双曲线E：的左、右焦点分别为、，点P在双曲线E上，且，则=______.
【答案】9
【分析】根据双曲线的定义即可求得.
【详解】因为双曲线E，所以，则，
又因为，则，即或，
又，故.
故答案为：9.
9．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．
【答案】2（满足皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.
【