人教高中数学专题19 空间几何体(解析版).docx

专题19 空间几何体
【考纲要求】
1、通过考查棱柱、棱锥或不规则几何体的特征及体积与表面积的计算。
2、通过考查几何体体积和表面积的计算，考查棱柱、棱锥或不规则几何体的特征及体积与表面积的计算。
一、空间几何体
【思维导图】
【考点总结】
一、多面体的结构特征
多面体
结构特征
棱柱
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等
棱锥
有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形
棱台
棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分
二、旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
旋转
图形
矩形
直角三角形
直角梯形
半圆形
旋转轴
任一边所在的直线
任一直角边所在的直线
垂直于底边的腰所在的直线
直径所在的直线
母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
三、简单组合体
简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．
二、空间几何体的表面积和体积
【思维导图】
【考点总结】
一、几何体的表面积
圆柱的侧面积
圆柱的表面积
圆锥的侧面积
圆锥的表面积
圆台的侧面积
圆台的表面积
球体的表面积
柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.
把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.
二、几何体的体积
圆柱的体积
圆锥的体积
圆台的体积
球体的体积
正方体的体积
正方体的体积
三、常用结论
多面体的内切球与外接球常用的结论
(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝.
(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝.
(3)设正四面体的棱长为a，则它的高为H＝，内切球半径r＝H＝，外接球半径R＝H＝.
【题型汇编】
题型一：空间几何体的结构
题型二：空间几何体的表面积与体积
【题型讲解】
题型一：空间几何体的结构
一、单选题
1．（2022·河南开封·三模（文））已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（       ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据弧长公式可求出结果.
【详解】
依题意可知，半圆的弧长为，圆心角的弧度数为，
由弧长公式可得该圆锥的母线长为.
故选：C
2．（2022·河北秦皇岛·二模）如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
应用等体积法求到平面的距离，结合的长，即可求直线与平面所成角的正弦值.
【详解】
由题设，且到平面的距离为.
又，，故到上高为，所以.
设到平面的距离为，由得：，解得，
故直线与平面所成角的正弦值为.
故选：D
3．（2022·新疆·一模（理））斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵，鹦鹉螺等．如图为该螺旋线的前一部分，若用接下来的一段圆弧所对应的扇形作圆锥的侧面，则该圆锥的母线与底面所形成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的半径和弧长，可得圆锥的母线长及底面半径，即求．
【详解】
由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，
即接下来的圆弧对应的圆面半径是，
圆锥的母线长为13，
对应的弧长是，
设圆锥底面半径为，则，解得，
所以该圆锥的母线与底面所形成角的余弦值为.
故选：D．
4．（2022·山西临汾·一模（理））如图，该模具是一个各棱长都为2的正四棱锥，要将两个同样的模具装在一个球形包装盒内，则包装盒的最小直径为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4