人教高中数学专题23 导数之凹凸反转(解析版).docx

专题23 导数之凹凸反转
不等式恒成立问题中，许多试题的几何背景是曲线与切线静态或动态的上下位置关系，进而应用曲线的凸凹性可获得思路自然、过程简洁的图解.
【知识拓展】一般地，对于函数的定义域内某个区间上的不同
的任意两个自变量的值，
①总有（当且仅当时，取等号），
则函数在上是凸函数，其几何意义：函数的图象上的
任意两点所连的线段都不落在图象的上方.，则单调
递减，在上为凸函数；
②总有（当且仅当时，取等号），
则函数在上是凹函数，其几何意义：函数的图象上的
任意两点所连的线段都不落在图象的下方.，则单调递增，在上为凹函数.
1．已知函数.
（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；
（2）当时，证明：.
【解析】（1）由，得恒成立，令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，
所以，即，故的取值范围是；
（2）有（1）知时，有，所以.
①要证，可证，只需证，易证，所以；
②要证，可证，
易证，由于，所以，所以，
综上所述，当时，证明：.
2．设函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，证明：在上恒成立．
【解析】（1）当时，，
当时，；当时，．
在上单调递增，在上单调递减；
在处取得极大值（2），无极小值；
（2）当时，，下面证，即证，
设，则，
在上，，是减函数；在上，，是增函数．
所以，设，则，
在上，，是增函数；在上，，是减函数，
所以，
所以，即，所以，即，
即在上恒成立．
3．设函数，．
（1）判断函数零点的个数，并说明理由；
（2）记，讨论的单调性；
（3）若在恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）由题意得：，，故在递增；
又（1），（e），故函数在内存在零点，
的零点个数是1；
（2），，
当时，，在递减，
当时，由，解得：（舍取负值），
时，，递减，，时，，递增，
综上，时，在递减，时，在递减，在，递增；
（3）由题意得：，问题等价于在恒成立，
设，若记，则，
时，，在递增，（1），即，
若，由于，故，故，
即当在恒成立时，必有，当时，设，
①若，即时，由（2）得，递减，，，递增，
故（1），而，即存在，使得，
故时，不恒成立；
②若，即时，设，，
由于，且，即，故，
因此，故在递增，
故（1），即时，在恒成立，
综上，，时，在恒成立．
4．已知函数，．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）求证：当时，．
【解析】（1）令，则，
当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值（1），
因为恒成立，即恒成立，则，解得，
故实数的取值范围为，；
（2）证明：由（1）可知，恒成立，即，
所以要证，只需证明成立即可，
令，则，
令，则，
当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，
又，（1），因为，则，
所以存在，使得，
故当时，，则单调递增，
当，时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
又（1），所以，
因此，当时，．
5．已知函数，曲线在处的切线方程为．
（1）求证：时，；
（2）求证：．
【解析】（1）函数的定义域为，，
又，，所以该切线方程为．
设，则，
令，则，
当时，，所以在上单调递增，
又，所以，即在上单调递增，
所以，故时，；
（2）由（1）知：当时，.
令，则，
所以，
所以，
化简可得，得证.
6．已知函数且（1）．
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：．
【解答】（1）依题意，，又，解得，
，令，解得，令，解得，
的单调递增区间为，单调递增区间为；
（2）证明：要证成立，只需证成立，
令，则，
令，解得，令，解得，
在上单调递减，在上单调递增，，
又由（1）可得在上，，故不等式得证．
7．已知函数为常数）是实数集上的奇函数，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）讨论关于的方程的根的个数．
【解答】（Ⅰ） 因为函数为常数）是实数集上的奇函数，
所以，即，则，解得，
显然时，是实数集上的奇函数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，方程可转化为，
令，，因为，令，得，
当时，，所以在上为增函数，
当时，，所以在上为减函数，
当时，，又
所以在上为减函数，在上为增函数，
当时，，
所以当，即时，方程无解，
当，即时，方程有一个根，
当，即时，方程有两个根，
综上得：
当时，方程无解，
当时，方程有一个根，
当时，方程有两个根．
8．设函数，．
（1）判断函数零点的个数，并说明