人教高中数学专题23 利用导数证明不等式(解析版).docx

专题23 利用导数证明不等式
一、多选题
1．已知函数，数列的前n项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】
A．计算出的值，与比较大小并判断是否正确；B．利用导数分析的最小值，由此判断出是否正确；C．根据与的大小关系进行判断；D．构造函数，分析其单调性和最值，由此确定出，将变形可得，再将变形可判断结果.
【详解】
A选项，，A正确；
B选项，因为，所以当时，，所以单增，所以，
因为，所以，所以，B正确；
C选项，因为，所以，C错误；
D选项，令，，
所以在单调递增，所以，所以，
则，所以，即，
所以，所以D错误.
故选：AB.
【点睛】
易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：
（1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.
2．下列不等式正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】ABC
【分析】
构建函数，利用导数研究其单调性和最值，可得出每个选项中的不等式正不正确.
【详解】
对于A：设，则，令，解得，
当时函数单调递减，当时，函数单调递增，
所以函数在时，函数取得最小值，故当时，，故A正确；
对于B：设，所以，
令，解得，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
所以在时，（1），故当时，恒成立，故B正确；
对于C：设，所以，令，解得，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
所以当时，（1），所以当时，，故C正确；
对于D：设函数，则，所以是定义在上单调递增的奇函数，
所以时，成立，时，，故D错误．
故选：ABC
3．已知定义在R上的函数满足，则下列式子成立的是（ ）
A． B．
C．是R上的增函数 D．，则有
【答案】AD
【分析】
由题意得，即为增函数，可得，即可判断，举出反例可判断C，根据单调性可判断D.
【详解】
由，得，即，
所以函数为增函数，故，
所以，故A正确，B不正确；
函数为增函数时，不一定为增函数，
如是增函数，但是减函数，所以C不正确；
因为函数为增函数，所以时，有，
故有成立，所以D正确.
故选：AD.
【点睛】
本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，构造函数是解题的关键，属于中档题.
二、解答题
4．已知函数，，若最小值为0.
（1）求实数的值；
（2）设，证明：.
【答案】（1）1；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由，得，讨论当时，无最小值.当时， ，由可得答案得；
（2）由（1）可知，可得，由（1）可知，即，进而可得结论.
【详解】
（1）由已知，定义域为.
.
由，得.
当时，，在单调递增无最小值.
当时，，；，.
故，
令，.
，；，，，
所以由，得.
（2）由（1）可知，此时
等价于，
由（1）可知当时，.
故，即.
所以，
故.
【点睛】
不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
5．已知函数，.
（1）当时，求函数的最大值；
（2）设，当，且，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）当时，，，由的单调性得出函数的最大值；
（2）由函数的单调性结合零点个数得出，结合分析法要证，只需证，由函数在上存在唯一零点证明，由函数在上存在唯一零点证明，从而得出.
【详解】
解1）当时，，.
当时，；当时，.
∴函数在上单调递增，在上单调递减.
∴.
（2）由题可知，是函数的零点.
当时，；当时，
∴函数在上单调递增，在上单调递减
故函数要有两个零点，必有，即.
要证，只需证
只需证 ①
由于，，，
∴函数在上存在唯一零点
即. ②
由（1）知，，所以，且当时，取等号
∴
∴函数在上存在唯一零点
即. ③
由②③可知①成立，故.
【点睛】
求解本题第（2）问的关键是根据题中条件将证明转化为证明，然后利用零点存在定理即可求解.
6．已知