人教专题03 逻辑用语 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题三 《逻辑用语》讲义
知识梳理.逻辑用语
1．命题
能判断真假的语句叫做命题．
2．量词
(1)全称量词与全称命题
①全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词．
②全称命题：含有全称量词的命题．
③全称命题的符号表示：
形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．
(2)存在量词与特称命题
①存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．
②特称命题：含有存在量词的命题．
③特称命题的符号表示：
形如“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”的命题，用符号简记为∃x0∈M，p(x0)．
(3)命题的否定
①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
②否定结论：对原命题的结论进行否定．
【注】原命题与命题的否定真假性相反
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；
(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；
(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．
【注】集合中，子集可以推出另一个集合.
题型一. 真假命题
1．关于x的方程x2+ax+b＝0，有下列四个命题：
甲：该方程两根之和为2；
乙：该方程两根异号；
丙：x＝1是方程的根；
丁：x＝3是方程的根．
如果只有一个假命题，则该命题是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，
∴两根之和不为2，而x＝1，x＝3与两根异号矛盾，与题意不符；
若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，
∴两根不异号，即方程有两个相等的根，与题意不符；
若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，
令x1＝3，则x2＝﹣1，符合题意；
若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，
令x1＝1，则x2＝1，与题意不符．
故选：C．
2．下列命题中正确的是（　　）
A．若x∈C，x2+1＝0，则x＝i
B．若复数z1，z2满足z12+z22＝0，则z1＝z2＝0
C．若复数z为纯虚数，则|z|2＝z2
D．若复数z满足z（2+i）＝|3﹣4i|，则复数z的虚部为﹣1
【解答】解：由x2+1＝0，x2＝﹣1，x∈C，令x＝a+bi，
∴x2＝（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi，则a2﹣b2＝﹣1，2ab＝0，
得a＝0，b2＝1，∴b＝±1．即x＝±1．故A错．
设z1＝（a1+b1i），z2＝（a2+b2i），
则z12+z22=(a1+b2i)2+(a2+b2i)2=0，得a12+a22−b12−b22=0，
可得：2（a1b1+a2b2）＝0，当a2＝﹣b1，a1＝b2时成立，则B错．
设z＝mi，|z|2＝m2，z2＝（mi）2＝﹣m2，∴|z|2≠z2，故C答案错误．
由复数z满足z（2+i）＝|3﹣4i|，|3﹣4i|＝5，z（2+i）＝5，
z=52+i=2﹣i，
∴z＝2﹣i，则复数z的虚部为﹣1，故D答案正确．
故选：D．
3．给出下列命题：
①若空间向量a→，b→满足|a→|＝|b→|，则a→=b→；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量c→，由a→⋅c→=b→⋅c→，则a→=b→；
④在向量的数量积运算中(a→⋅b→)⋅c→=a→⋅(b→⋅c→)．
其中假命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①若|a→|＝|b→|，则a→与b→的模长相等，但方向不确定，只有当两个向量的方向相同时，才有a→=b→，即①错误；
②单位向量只代表长度相等，均为1，但方向不确定，即②错误；
③由平面向量的数量积可知，若a→⋅c→=b→⋅c→，则a→⋅cos＜a→，c→＞=b→⋅cos＜b→，c→＞，即③错误；
④由于平面向量的方向无法确定，所以向量的数量积运算不满足结合律，即④错误；
所以①②③④都是错误的，
故选：D．
4．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n
B．若m∥α，n∥α，且m⊂β，n⊂β，则α∥β
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
【解答】解：A：若m⊥α，n⊥β，α⊥β，，由线面垂直，面面垂直的性质得m⊥n，∴A正确，
B：若m∥α，n∥β，m⊂α，n⊂β，则α∥β或相交，∴B错误，
C：若m∥α，n∥α，则m∥n或相交或异面，∴C错误，
D：若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或相交，∴D错误．
故选：A．
5．给出下列