人教专题05 函数 5.7对称性与周期性 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题四 《函数》讲义
5.7 对称性与周期性
知识梳理.对称性与周期性
1.轴对称：
①f(x)=f(-x)，关于x=0对称
②f(a+x)=f(a-x)，关于x=a对称
③f(a+x)=f(b-x)，关于x=对称
2.中心对称：
①f(x)-f(-x)=0，关于(0,0)对称
②f(a+x)-f(a-x)=0，关于(a,0)对称
③f(a+x)-f(a-x)=2b，关于(a,b)对称
3.周期性：
①f(x)=f(x+T)，最小正周期为T，有多个对称轴，有多个对称中心.
②f(x+a)=f(x+b)，T=lb-al
③f(x+a)=-f(x+b)，T=2lb-al
④f(x+a)=±，T=l2al
题型一. 轴对称
1．已知函数f（x）＝f（2﹣x），x∈R，当x∈[1，+∞）时，f（x）为增函数．设a＝f（1），b＝f（2），c＝f（﹣1），则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【解答】解：∵f（x）＝f（2﹣x），
∴函数的图象关于x＝1对称，
当x∈[1，+∞）时，f（x）为增函数，
∴f（3）＞f（2）＞f（1），
a＝f（1），b＝f（2），c＝f（﹣1）＝f（3），
则a＜b＜c．
故选：D．
2．定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x（3﹣2x），则f（312）＝（　　）
A．﹣1 B．−12 C．12 D．1
【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则有f（﹣x）＝f（x+2），
又由f（x）为奇函数，则f（x+2）＝﹣f（x），
则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，
则f（312）＝f（−12+16）＝f（−12）＝﹣f（12）＝﹣[12（3﹣2×12）]＝﹣1；
故选：A．
3．已知定义域为R的函数f（x）在[1，+∞）单调递增，且f（x+1）为偶函数，若f（3）＝1，则不等式f（2x+1）＜1的解集为（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【解答】解：根据题意，函数f（x+1）为偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，
又由函数f（x）在[1，+∞）单调递增且f（3）＝1，
则f（2x+1）＜1⇒f（2x+1）＜f（3）⇒|2x|＜2，
解可得：﹣1＜x＜1，即不等式的解集为（﹣1，1）；
故选：A．
题型二.中心对称
1．已知函数f（2x+1）是奇函数．则函数y＝f（2x）的图象成中心对称的点为（　　）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（12，0） D．（−12，0）
【解答】解：∵函数f（2x+1）是奇函数，
∴f（﹣2x+1）＝﹣f（2x+1）
令t＝1﹣2x，代入可得f（t）+f（2﹣t）＝0，
∴函数f（x）关于（1，0）对称，
则函数y＝f（2x）的图象成中心对称的点为（12，0）．
故选：C．
2．已知函数f（x﹣1）（x∈R）是偶函数，且函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称，当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x﹣1，则f（2019）＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【解答】解：根据题意，函数f（x﹣1）（x∈R）是偶函数，则函数f（x）的对称轴为x＝﹣1，
则有f（x）＝f（﹣2﹣x），
又由函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称，则f（x）＝﹣f（2﹣x），
则有f（﹣2﹣x）＝﹣f（2﹣x），即f（x+4）＝﹣f（x），
变形可得f（x+8）＝f（x），则函数是周期为8的周期函数，
f（2019）＝f（3+252×8）＝f（3）＝﹣f（﹣1）＝﹣（﹣1﹣1）＝2；
故选：D．
3．（2016·全国2）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），若函数y=x+1x与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则i=1m （xi+yi）＝（　　）
A．0 B．m C．2m D．4m
【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），
即为f（x）+f（﹣x）＝2，
可得f（x）关于点（0，1）对称，
函数y=x+1x，即y＝1+1x的图象关于点（0，1）对称，
即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点，
（x2，y2）为交点，即有（﹣x2，2﹣y2）也为交点，
…
则有i=1m （xi+yi）＝（x1+y1）+（x2+y2）+