人教专题6.4 正弦定理、余弦定理的应用 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版.docx

专题6.4 正弦定理、余弦定理的应用
练基础
1．（2021·江西省万载中学高一期末（理））在中，已知，则的形状一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】B
【解析】
先通过“边化角”，再通过辅助角公式，即可求出答案.
【详解】
解：由正弦定理得，
整理得：
即，又因为,所以,
所以，移项得：,所以三角形一定为直角三角形.
故选：B
2．（2021·江西省万载中学高一期末（理））在中，已知，则的形状一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】B
【解析】
先通过“边化角”，再通过辅助角公式，即可求出答案.
【详解】
解：由正弦定理得，
整理得：
即，又因为,所以,
所以，移项得：,所以三角形一定为直角三角形.
故选：B
3．（2021·辽宁高三其他模拟）英国数学家约翰・康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”是他引以为傲的研究成果之一．定理的内容是：三角形ABC的三条边长分别为a，b，c，分别延长三边两端，使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆．现有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由“康威圆定理”可知的康威圆圆心即为三角形内切圆的圆心，正三角形内切圆的圆心即为中心，据此可得圆的半径，进一步可求其面积.
【详解】
康威圆的圆心即为三角形内切圆的圆心，正三角形内切圆的圆心即为中心，
所以其康威圆半径为，故面积为．
故选:C.
4．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（理））某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在
处（点在水平地面的下方，为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点，两地相距100米，，其中到的距离比到的距离远40米．地测得该仪器在处的俯角为，地测得最高点的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（ ）
A．210米 B．米 C．米 D．420米
【答案】C
【解析】
在中利用余弦定理求出，进而在中可求出，再在中求出，即可得解．
【详解】
设，所以，在中，，，所以，
，即，．
在中，，所以，又在中，，所以，因此．
故答案为：C．
5．（2021·山东省青岛第一中学高一期中）如图所示，为测量山高选择A和另一座山的山顶为测量观测点，从A点测得点的仰角点的仰角以及从点测得，若山高米，则山高等于（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】A
【解析】
在中，可求得AC，根据正弦定理，在中，可求得AM，在中，即可求得答案.
【详解】
因为在中，，，
所以，
在中，，
由正弦定理得：，即，
所以，
在中，，
所以（米）
故选：A
6．（2021·四川成都市·成都七中高一期中）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西匀速行驶，在公路北侧远处一座高900米的山顶D的测得点A的在东偏南方向上过一分钟后测得点B处在山顶地的东偏南方向上，俯角为，则该车的行驶速度为（ ）
A．15米/秒 B．15米/秒
C．20米/秒 D．20米/秒
【答案】A
【解析】
根据题意可得，再除以时间即可得解.
【详解】
根据题意，由B处在山顶俯角为，
所以，
由A东偏南，B东偏南，
所以，
所以为等腰三角形，所以，
由，所以速度为米/秒，
故选：A
7．（2021·山西临汾市·高三其他模拟（文））说起***革命纪念地景区，可谓是家喻户晓，它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、***革命纪念馆组成.尤其宝塔山，它可是圣地***的标志，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山的坡度比为（坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比），在山坡处测得，从处沿山坡往上前进到达处，在山坡处测得，则宝塔的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由已知可得，在中利用正弦定理可求得.
【详解】
由题可知，，则，
，
设坡角为，则由题可得，则可求得，
在中，，
由正弦定理可得，即，解得，
故宝塔的高为44m.
故选：A.
8.（2021·浙江高一期末）在中，，若，则的最大值是____________．
【答案】
【解析】
由，结合向量数量积的定义及余弦定理可得，进而可求得，而要求的最大值，只要求解的最小值即可
【详解】