人教专题07 三角函数 7.3三角函数图像与性质 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题七 《三角函数》讲义
7.3 三角函数的图像与性质
知识梳理.三角函数的图像与性质
1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定
义
域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
单
调
性
在(k∈Z)上是递增函数，在(k∈Z)上是递减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数
在(k∈Z)上是递增函数　　　　
周
期
性
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对
称
性
对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)
对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是
(k∈Z)
对称中心是
(k∈Z)
题型一. 三角函数图像的伸缩变换
1．要得到函数y＝3sin（2x+π3）的图象，只需要将函数y＝3cos2x的图象（　　）
A．向右平行移动π12个单位 B．向左平行移动π12个单位
C．向右平行移动π6个单位 D．向左平行移动π6个单位
【解答】解：函数y＝3sin（2x+π3）＝3cos[π2−（2x+π3）]＝3cos（π6−2x）＝3cos（2x−π6）＝3cos2（x−π12），
故把函数y＝3cos2x的图象向右平行移动π12个单位，可得函数y＝3sin（2x+π3）的图象，
故选：A．
2．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin（2x+2π3），则下面结论正确的是（　　）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2
【解答】解：曲线C2：y＝sin（2x+2π3）＝cos（2x+π6），
把C1：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y＝cos2x的图象；
再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，可以得到曲线C2：y＝cos（2x+π6）＝sin（2x+2π3）的图象，
故选：D．
3．（2021春•闵行区校级期中）函数y＝cos（2x+φ）的图象向右平移π2个单位长度后与函数y＝sin（2
x+2π3）的图象重合，则|φ|的最小值为　5π6　．
【解答】解：函数y＝cos（2x+φ）的图象向右平移π2个单位长度后得到f（x）＝cos（2x﹣π+φ）＝﹣cos（2x+φ）＝sin（2x+φ+3π2）
由于与函数y＝sin（2x+2π3）的图象重合，
所以φ+3π2=2kπ+π3，
整理得：φ＝2kπ−7π6，
所以|φ|的最小值为5π6．
故答案为：5π6．
4．（2016春•南通期末）将函数f(x)=sin(ωx+φ)，(ω＞0，−π2＜φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π4个单位长度得到y＝sinx的图象，则f(π6)=　32　．
【解答】解：将函数f(x)=sin(ωx+φ)，(ω＞0，−π2＜φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，
纵坐标不变，可得y＝sin（2ωx+φ）的图象；
再把图象向右平移π4个单位长度得到y＝sin[2ω（x−π4）+φ]＝sin（2ωx−ωπ2+φ）的图象．
再根据所得图象为 y＝sinx，∴2ω=1−ωπ2+φ=0，求得ω=12，且 φ=π4，
∴f（x）＝sin（12x+π4），
则f(π6)=sin（π12+π4）＝sinπ3=32．
5．（2015•湖南）将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜π2）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|＝2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=π3，则φ＝（　　）
A．5π12 B．π3 C．π4 D．π6
【解答】解：因为将函数f（x）＝sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜π2）个单位后得到函数
g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|＝2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2