人教专题8.5 直线、平面垂直的判定及性质 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版.docx

专题8.5 直线、平面垂直的判定及性质
新课程考试要求
1.了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义，掌握公理、判定定理和性质定理；
2. 掌握公理、判定定理和性质定理.
核心素养
本节涉及的数学核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象等.
考向预测
（1）以几何体为载体，考查线线、线面、面面垂直证明.
（2）利用垂直关系及垂直的性质进行适当的转化，处理综合问题.
（3）本节是高考的必考内容．预测2020年高考将以直线、平面垂直的判定及其性质为重点，涉及线线垂直、线面垂直及面面垂直的判定及其应用，题型为解答题中的一问，或与平行相结合进行命题的判断.以及运用其进一步研究体积、距离、角的问题，考查转化与化归思想、运算求解能力及空间想象能力．
【知识清单】
知识点1．直线与平面垂直的判定与性质
定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．
定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.
⇒l⊥α
性质定理
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.
⇒a∥b
知识点2．平面与平面垂直的判定与性质
定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
⇒β⊥α
性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
⇒AB⊥α
知识点3．线面、面面垂直的综合应用
1．直线与平面垂直
(1)判定直线和平面垂直的方法
①定义法．
②利用判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
(2)直线和平面垂直的性质
①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线．
②垂直于同一个平面的两条直线平行．
③垂直于同一直线的两平面平行．
2．斜线和平面所成的角
斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角．
3．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的判定方法
①定义法
②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的性质
如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
【考点分类剖析】
考点一 ：直线与平面垂直的判定与性质
【典例1】（2021·全国高考真题（文））已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.
（1）求三棱锥的体积；
（2）已知D为棱上的点，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】
(1)首先求得AC的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；
(2)将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论.
【详解】
(1)如图所示，连结AF，
由题意可得：，
由于AB⊥BB1，BC⊥AB，，故平面，
而平面，故，
从而有，
从而，
则，为等腰直角三角形，
，.
(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结，
正方形中，为中点，则，
又，
故平面，而平面，
从而.
【典例2】（2021·河北易县中学高一月考）在三棱锥中，，，O是线段AC的中点，M是线段BC的中点.
（1）求证：PO⊥平面ABC；
（2）求直线PM与平面PBO所成的角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）利用勾股定理得出线线垂直，结合等边三角形的特点，再次利用勾股定理得出线线垂直，进而得出线面垂直；
（2）根据线面垂直面 ，得出线和面的夹角 ，从而得出线面角的正弦值.
【详解】
（1）由，有，从而有，
且
又是边长等于的等边三角形，
.
又，从而有.
又平面.
（2）过点作交于点，连.
由（1）知平面，得，又平面
是直线与平面所成的角.
由（1），从而为线段的中点，
，
，
所以直线与平面所成的角的正弦值为
【规律方法】
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.
(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判