人教专题10 数列 10.2等比数列 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题十 《数列》讲义
10.2 等比数列
知识梳理.等比数列
1．等比数列的有关概念
(1)定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(q≠0，n∈N*)．
(2)等比中项
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔G2＝ab．
“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1．
(2)前n项和公式：Sn＝
3．等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*)
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a．
(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．
常用结论
4．记住等比数列的几个常用结论
(1)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
(2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(3)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等比数列。
题型一. 等比数列的基本量
1．（2013•北京）若等比数列{an}满足a2+a4＝20，a3+a5＝40，则公比q＝　2　；前n项和Sn＝　2n+1﹣2　．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵a2+a4＝a2（1+q2）＝20①
a3+a5＝a3（1+q2）＝40②
∴①②两个式子相除，可得到a3a2=4020=2
即等比数列的公比q＝2，
将q＝2带入①中可求出a2＝4
则a1=a2q=42=2
∴数列{an}时首项为2，公比为2的等比数列．
∴数列{an}的前n项和为：Sn=a1(qn−1)q−1=2×(2n−1)2−1=2n+1﹣2．
故答案为：2，2n+1﹣2．
2．（2010•辽宁）设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4﹣2，3S2＝a3﹣2，则公比q＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵Sn为等比数列{an}的前n项和，3S3＝a4﹣2，3S2＝a3﹣2，
两式相减得
3a3＝a4﹣a3，
a4＝4a3，
∴公比q＝4．
故选：B．
3．（2017•江苏）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3=74，S6=634，则a8＝　32　．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q≠1，
∵S3=74，S6=634，∴a1(1−q3)1−q=74，a1(1−q6)1−q=634，
解得a1=14，q＝2．
则a8=14×27=32．
故答案为：32．
题型二. 等比数列的性质
1．已知正项等比数列{an}中，a3=a4a2，若a1+a2+a3＝7，则a8＝（　　）
A．32 B．48 C．64 D．128
【解答】解：由a3=a4a2，得a1q2=q2，所以a1＝1，
又因为a1+a2+a3＝7，得1+q+q2＝7，所以q＝2，
故a8=27=128，
故选：D．
2．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，an＜an+1，n∈N*，a4•a14＝9，a8+a10＝10，则数列{an}的公比为（　　）
A．12 B．13 C．2 D．3
【解答】解：各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，an＜an+1，n∈N*，
a4•a14＝9，a8+a10＝10，
∴a1q3⋅a1q13=9a1q7+a1q9=10q＞1，
解得数列{an}的公比为q＝3．
故选：D．
3．（2014•广东）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12＝2e5，则lna1+lna2+…+lna20＝　50　．
【解答】解：∵数列{an}为等比数列，且a10a11+a9a12＝2e5，
∴a10a11+a9a12＝2a10a11＝2e5，
∴a10a11＝e5，
∴lna1+lna2+…lna20＝ln（a1a2…a20）＝ln（a10a11）10＝ln（e5）10＝lne50＝50．
故答案为：50．
题型三.等比数列的前n项经典结论
1．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝2，S30＝14，则S40等于（　　）
A．80 B．