人教专题11 立体几何 11.4空间角与空间距离 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题十一 《立体几何》讲义
11.4 空间角与空间距离
知识梳理.空间角
1.异面直线的定义：不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线
（1）异面直线所成的角的范围：．
（2）求法：平移→
2．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.0°≤φ≤90°
3．求二面角的大小
(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．
(2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)．
题型一. 点到面的距离
1．如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，则P到平面BQD的距离为　1213　．
【解答】解：∵Q为线段AP的中点，
∴P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离，
设A到平面BDQ距离为d，则
∵PA⊥平面ABCD，AQ＝1，AB＝3，BC＝4，
∴BQ=10，DQ=17，BD＝5，
∴cos∠BQD=10+17−252170=1170，
∴sin∠BQD=13170，
∴S△BQD=12⋅10⋅17⋅13170=132，
∵S△BAD＝6，
∴由VA﹣BDQ＝VQ﹣DAB可得13⋅132⋅d=13⋅6⋅1，
∴d=1213．
故答案为：1213．
2．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，若则点A到平面A1BC的距离为（　　）
A．34 B．32 C．334 D．3
【解答】解：设点A到平面A1BC的距离为h，
∵VA1−ABC=VA−A1BC，
∴13S△ABC⋅AA1=13S△A1BC⋅ℎ，
∴13×3×1=13×2×ℎ，
解得h=32，
故选：B．
3．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，M为PC的中点．
（Ⅰ）在棱PB上是否存在一点Q，使用A，Q，M，D四点共面？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由．
（Ⅱ）求点D到平面PAM的距离．
【解答】解：（Ⅰ）当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面，
证明如下：
取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，所以QM∥BC，
在菱形ABCD中AD∥BC，所以QM∥AD，
所以A，Q，M，D四点共面．
（Ⅱ）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，
取AD中点O，连结OP，OC，AC，可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P﹣ACD的体高．
在Rt△POC中，PO＝OC=3，PC=6，
在△PAC中，PA＝AC＝2，PC=6，边PC上的高AM=PA2−PM2=102，
所以△PAC的面积S△PAC=12×6×102=152，
设点D到平面PAC的距离为h，S△ACD=34×22=3
由VD﹣PAC＝VP﹣ACD得13×152ℎ=13×3×3，解得h=2155，
所以点D到平面PAM的距离为2155．
4．如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为AB，PB的中点，EB＝EA，且PA⊥AC，PC⊥BC．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA＝2BC且AB＝EA，三棱锥P﹣ABC．体积为1，求点B到平面DCE的距离．
【解答】证明：（Ⅰ）∵在正△AEB中，D是AB的中点，∴ED⊥AB，
∵E是PB的中点，D是AB的中点，∴ED∥PA，∴PA⊥AB，
又PA⊥AC，AB∩AC＝A，∴PA⊥平面ABC，
∵BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，
又PC⊥BC，PA∩PC＝P，∴BC⊥平面PAC．
解：（Ⅱ）设AB＝EA＝a，则PB＝2a，PA＝2BC=3a，
AC=a2−(32a)2=a2，
∵三棱锥P﹣ABC体积为1，
∴VP﹣ABC=13S△ABC×PA=16×AC×BC×PA=16×a2×3a2×3a=1，
解得a＝2，
以C为原点，CB，CA，过C点作平面ABC的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
B（3，0，0），A（0，1，0），D（32，12，0），
C（0，0，0），P（0，1，23），E（32，12，3），
CB→=（3，0，0），CD→=（32，12，0），CE→=（32，12，3），
设平面DCE的法向量n→=