人教专题13解析几何 13.8存在性问题 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题十三 《解析几何》讲义
13.8 存在性问题
知识梳理.存在性问题
1.存在性问题的求解方法
(1)解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．一般步骤：
①假设满足条件的曲线(或直线、点)等存在，用待定系数法设出；
②列出关于待定系数的方程(组)；
③若方程(组)有实数解，则曲线(或直线、点等)存在，否则不存在．
(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法
2.字母参数值存在性问题的求解方法
求解字母参数值的存在性问题时，通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的参数值，就说明满足条件的参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程
题型. 存在性问题
1．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两焦点在x轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点S(0，−13)的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以AB为直径的圆恒过点Q？若存在求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，得b＝c，
又斜边长为2，即2c＝2，解得c＝1，故a=2c=2，
所以椭圆方程为x22+y2=1．
（Ⅱ）当l与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为x2+(y+13)2=169；
当l为y轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2＝1，
由x2+(y+13)2=169x2+y2=1⇒x=0y=1，
故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q（0，1）．
下证明Q（0，1）为所求：
若直线l斜率不存在，上述已经证明．
设直线l：y=kx−13，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由y=kx−13x2+2y2−2=0⇒(9+18k2)x2−12kx−16=0，△=144k2+64(9+18k2)＞0，
x1+x2=12k18k2+9，x1x2=−1618k2+9，
QA→=(x1，y1−1)，QB→=(x2，y2−1)，
QA→⋅QB→=x1x2+(y1−1)(y2−1)=(1+k2)x1x2−4k3(x1+x2)+169
=(1+k2)−169+18k2−4k3⋅12k9+18k2+169=0，
∴QA→⊥QB→，即以AB为直径的圆恒过点Q（0，1）．
2．（2015·四川）如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率是22，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为22．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为22，
∴点（2，1）在椭圆E上，
又∵离心率是22，
∴2a2+1b2=1a2−b2=c2ca=22