人教专题16统计与统计案例 16.2统计案例 题型归纳讲义-2022届数学一轮复习（解析版）.docx

专题十六 《统计与统计案例》讲义
16.2 统计案例
题型一. 一元线性回归模型
1．某车间为了规划生产进度提高生产效率，记录了不同时段生产零件个数x（百个）与相应加工总时长y（小时）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为y^=0.7x+0.05，则下列结论错误的是（　　）
x
2
3
4
5
y
1.5
2
m
3.5
A．加工总时长与生产零件数呈正相关
B．该回归直线一定过点（3.5，2.5）
C．零件个数每增加1百个，相应加工总时长约增加0.7小时
D．m的值是2.85
【解答】解：由题意，线性回归方程为y^=0.7x+0.05，
对于A：∵b＝0.7＞0，∴加工总时长与生产零件数呈正相关；
对于B：当x＝3.5时，可得y＝0.7×3.5+0.05＝2.5，即该回归直线一定过点（3.5，2.5）
对于C：由b＝0.7，∴零件个数每增加1百个，相应加工总时长约增加0.7小时，
对于D：回归方程过平均中心，x=2+3+4+54=3.5，y=1.5+2+m+3.54=2.5．
解得：m＝3
故选：D．
2．为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ŷ=b̂x+â．已知i=110 xi=225，i=110 yi=1600，b̂=4．该班某学生的脚长为23，据此估计其身高为（　　）
A．160 B．162 C．166 D．170
【解答】解：因为i=110 xi=225，i=110 yi=1600，b̂=4，
则x=22510=22.5，y=160010=160，
所以â=y−b̂x=160−4×22.5=70，
所以线性回归方程为ŷ=4x+70，
当x＝23时，ŷ=4×23+70＝162，
所以该班某学生的脚长为23，估计其身高为162厘米．
故选：B．
3．（2020•新课标Ⅰ）某校一个课外学****小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（xi，yi）（i＝1，2，…，20）得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（　　）
A．y＝a+bx B．y＝a+bx2 C．y＝a+bex D．y＝a+blnx
【解答】解：由散点图可知，在10℃至40℃之间，发芽率y和温度x所对应的点（x，y）在一段对数函数的曲线附近，
结合选项可知，y＝a+blnx可作为发芽率y和温度x的回归方程类型．
故选：D．
4．（2018•新课标Ⅱ）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量
t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：ŷ=−30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：ŷ=99+17.5t．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【解答】解：（1）根据模型①：ŷ=−30.4+13.5t，
计算t＝19时，ŷ=−30.4+13.5×19＝226.1；
利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；
根据模型②：ŷ=99+17.5t，
计算t＝9时，ŷ=99+17.5×9＝256.5；
利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；
（2）解法1：模型②得到的预测值更可靠，因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，从2000年到2009年间递增的幅度较小些，从2010年到2016年间递增的幅度较大些，所以利用模型②的预测值更可靠些．
解法2，模型②对应的7个点分布宽度小于模型①对应的17个点的分布宽度，则|r2|＞|r1|，所以模型②较好；
解法3，选择与2018邻近的三个年份（2014，2015，2016）计算模型②对应的残差绝对值之和＝2.5+5+1.5＝9，模型①对应的残差绝对值之和＝12+23.5+21＝56.5；且9＜56.5，所以模型②较好；
所以利用模型②的预测值更可靠些．
5．（2016•新课标Ⅲ）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理