人教版高中数学每日一练　第1周.docx

第一周
[周一]
1．(2022·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a－c)sin C＝asin A－bsin B.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝5，c＝2，D为边BC的中点，求cos 2∠ADC的值．
解　(1)在△ABC中，由(a－c)sin C＝asin A－bsin B及正弦定理得(a－c)c＝a2－b2，
即a2＋c2－b2＝ac，
由余弦定理得cos B＝＝＝，
而0<B<π，所以B＝.
(2)因为a＝5，所以DB＝，
由(1)知sin B＝，cos B＝，
在△ABD中，由余弦定理得，
AD2＝22＋2－2×2××＝，
所以AD＝.
由正弦定理得＝，
故sin∠BDA＝＝，
故cos 2∠ADC＝cos(2π－2∠BDA)
＝cos 2∠BDA＝1－2sin2∠BDA＝－.
[周二]
2．某高中高一新生共有1 500名，其中男生800名，女生700名，为全面推进学校素质教育，
推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，促进学生健康成长．学校准备调查高一新生每周日常运动情况，学校通过问卷调查，采用分层随机抽样的方法，收集了300名学生每周平均运动时间的样本数据(单位：小时)，并根据这300个样本数据，得到学生每周平均运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．
(1)求这300个样本数据中女生人数，并估计样本数据的85%分位数与方差；
(2)在调查的300名学生中按每周运动时间采用分层随机抽样的方法抽取20人参加校园“我运动我快乐”活动，再从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“每周平均运动时间超过8小时”的人数为X，求X的分布列及均值．
解　(1)依题意，样本数据中女生人数为×300＝140.
因为样本中每周平均运动时间在8小时以下的学生人数所占比例为0.05＋0.20＋0.30＋0.25＝0.80，则85%分位数为8＋＝.
平均数为1×0.05＋3×0.20＋5×0.30＋7×0.25＋9×0.15＋11×0.05＝5.8，
所以样本数据的方差为(1－5.8)2×0.05＋(3－5.8)2×0.20＋(5－5.8)2×0.30＋(7－5.8)2×0.25＋(9－5.8)2×0.15＋(11－5.8)2×0.05＝6.16，
所以样本数据中女生人数为140，样本数据的85%分位数为，方差为6.16.
(2)用分层随机抽样的方法，从中选取20人，则其中“每周平均运动时间超过8小时”的有4人，“每周平均运动时间不超过8小时”的有16人．
由题意知，X的可能取值为0,1,2，
且P(X＝0)＝＝；
P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
[周三]
3．(2022·梅州模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，________.
①∀n∈N*，an＋an＋1＝4n；②数列为等差数列，且的前3项和为6.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：
(1)求an；
(2)设bn＝，求数列{bn}