人教版高中数学每日一练　第2周.docx

第二周
[周一]
1．(2022·聊城模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，a＝3.
(1)求角A；
(2)若点D在边AC上，且＝＋，求△BCD面积的最大值．
解　(1)在△ABC中，因为＝，
所以(2b－c)cos A＝acos C，
由正弦定理得2sin Bcos A＝sin Acos C＋cos Asin C＝sin(A＋C)＝sin B，
因为sin B>0，所以cos A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)因为＝＋，
所以＝－＝，
所以S△BCD＝S△ABC＝bcsin A＝bc，
因为a2＝b2＋c2－2bccos A，
所以9＝b2＋c2－bc≥bc，当且仅当b＝c＝3时，等号成立，所以S△BCD＝bc≤，
所以△BCD面积的最大值为.
[周二]
2．(2022·南通模拟)已知盒子里有6个形状、大小完全相同的小球，其中红、白、黑三种颜色，每种颜色各两个小球．现制定如下游戏规则：每次从盒子里不放回地摸出一个球，若取到红球记1分；取到白球记2分；取到黑球记3分．
(1)若从中连续取3个球，求恰好取到3种颜色球的概率；
(2)若从中连续取3个球，记最后总得分为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．
解　(1)连续取3个球有A种方法，
从中连续取3个球，红、白、黑各取一个有
CCCA种方法，
则恰好取到3种颜色球的概率
P＝＝＝.
(2)由题意得，随机变量ξ的所有可能取值为4,5,6,7,8.当取到两个红球和一个白球时，ξ＝4，
则P(ξ＝4)＝＝＝，
当取到两个红球和一个黑球或两个白球和一个红球时，ξ＝5，
则P(ξ＝5)＝＝＝，
当取到一个红球、一个白球和一个黑球时，ξ＝6，
则P(ξ＝6)＝＝＝，
当取到一个红球和两个黑球或两个白球和一个黑球时，ξ＝7，
则P(ξ＝7)＝＝＝，
当取到两个黑球和一个白球时，ξ＝8，
则P(ξ＝8)＝＝＝.
∴随机变量ξ的分布列为
ξ
4
5
6
7
8
P
[周三]
3．(2022·济南模拟)如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，将△ACD沿AC折起，使得点D到达点P的位置，如图2，PB＝.
(1)证明：平面PAB⊥平面ABC；
(2)求直线PC与平面ABC所成角的正弦值．
(1)证明　因为BC＝1，PC＝2，PB＝，
则BC2＋PB2＝PC2，于是得BC⊥PB，
又BC⊥AB，PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB，
因此BC⊥平面PAB，而BC⊂平面ABC，
所以平面ABC⊥平面PAB.
(2)解　在平面PAB内过点P作PO⊥AB于点O，连接CO，如图，
由(1)知，平面ABC⊥平面PAB，
而平面ABC∩平面PAB＝AB，
则有PO⊥平面ABC，
所以∠PCO是直线PC与平面ABC所成的角，
在△PAB中，PA2＋PB2＝4＝AB2，
则∠APB＝90°，PO＝＝，
在Rt△POC中，PC＝2，
则有sin∠PCO＝＝，
所以直线PC与平面ABC所成角的正弦值为.
[周四]
4．(2022·泰安模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足3an＝2Sn＋2.
(1)求数列{an}的通项公式；