人教版高中数学每日一练　第4周.docx

第四周
[周一]
1．(2022·菏泽模拟)在①acos ＝csin A；②a＝ccos B＋bsin C；③cos2A－cos2C＝sin2B－sin Asin B，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，c＝，________，求a＋2b的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解　若选①：acos ＝csin A，
∵A＋B＋C＝π，
∴由已知条件得sin Asin ＝sin Csin A，
由sin A≠0，
得sin ＝2sin cos ，
由sin ≠0，得cos ＝，
∵C∈(0，π)，
∴＝，即C＝，
在△ABC中，
由正弦定理得＝＝＝2，
∴a＝2sin A，b＝2sin B，
∴a＋2b＝2sin A＋4sin B
＝2sin A＋4sin
＝2sin A＋4
＝4sin A＋2cos A
＝2sin(A＋φ)，
∵A∈，
∴存在A，使得A＋φ＝，
此时a＋2b取得最大值为2.
若选②：sin A＝sin Ccos B＋sin Bsin C，
∵A＋B＋C＝π，
∴sin(B＋C)＝sin Ccos B＋sin Bsin C，
即(sin Bcos C＋cos Bsin C)
＝sin Ccos B＋sin Bsin C，
化简得sin Bcos C＝sin Bsin C，
由sin B≠0，得tan C＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
下同①.
若选③：cos2A－cos2C＝sin2B－sin Asin B，
即1－sin2A－(1－sin2C)
＝sin2B－sin Asin B，
即sin2C－sin2A＝sin2B－sin Asin B，
由正弦定理得c2－a2＝b2－ab，
∴由余弦定理得cos C＝＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
下同①.
[周二]
2．已知数列{an}满足an＋an＋2＝2an＋1，n∈N*，且a1＝1，a5＋a7＝22.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记在区间(3m，3m＋1)(m∈N*)上，{an}的项数为bm，求数列{bm}的前m项和．
解　(1)由题意知an＋2－an＋1＝an＋1－an，
则{an}为等差数列，设其公差为d，
由a5＋a7＝22，
得a1＋4d＋a1＋6d＝22，又a1＝1，
∴d＝2，则an＝2n－1.
(2)由题意得，
bm＝－1＝3m－1，
∴b1＋b2＋…＋bm
＝(31－1)＋(32－1)＋…＋(3m－1)
＝31＋32＋…＋3m－m
＝3×－m
＝－m－.
[周三]
3．(2022·临沂模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，过AB1E的平面截此正方体，得到如图所示的多面体，F为棱CC1上的动点．
(1)点H在棱BC上，当CH＝CB时，FH∥平面AEB1，试确定动点F在棱CC1上的位置，并说明理由；
(2)若AB＝2，求点D到平面AEF的最大距离．
解　(1)设平面BCC1B1与平面AEB1的交线为l，
因为FH∥平面AEB1，
平面BCC1B1∩平面AEB1＝l，
FH⊂平面BCC1B1，
所以