人教版高中数学每日一练　第八周.docx

第八周
[周一]
1．(2022·汕头模拟)在①C＝2B；②△ABC的面积为；③sin(B＋C)＝这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，请说明理由．
问题：是否存在△ABC，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a＝1，b＝2，________？
解　若选①，则A＝π－3B，且A<B<C，
因为a＝1，b＝2，
由正弦定理得＝＝，
则＝，即＝，
所以2sin 3B＝sin B，
所以2sin(2B＋B)＝sin B，
即2(sin 2Bcos B＋cos 2Bsin B)＝sin B，
所以2[2sin B(1－sin2B)＋(1－2sin2B)sin B)]
＝sin B，
整理得2(3sin B－4sin3B)＝sin B，
解得sin2B＝，
因为B∈(0，π)，所以sin B＝，
因为 A<B<C，所以角B为锐角，
所以cos B＝＝，
所以sin C＝sin 2B＝2sin Bcos B
＝2××＝，
所以由正弦定理得c＝＝＝.
若选②，则由△ABC的面积为，a＝1，b＝2，
得absin C＝sin C＝，
所以cos C＝±＝±，
当C为锐角时，cos C＝，
此时由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－2×1×2×＝2，
所以c＝.
当C为钝角时，cos C＝－，此时由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4＋2×1×2×＝8，
所以c＝2，
综上，c＝或c＝2.
若选③，由sin(B＋C)＝，
得sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A＝，
由正弦定理得＝，
则sin B＝＝＝>1，
此时三角形不存在．
[周二]
2.(2022·深圳模拟)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．
(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，求证：直线l∥平面PAC；
(2)若PC＝AB＝2，点C是的中点，求二面角E－l－C的正弦值．
(1)证明　因为E，F分别是PA，PC的中点，
所以EF∥AC,
又因为AC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，
所以EF∥平面ABC，
又EF⊂平面BEF，平面BEF与平面ABC的交线为l，所以EF∥l,
而l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以l∥平面PAC.
(2)解　如图，因为AB是圆O的直径，点C是的中点，AB＝2，
所以CA⊥CB，CA＝CB＝，
因为直线PC⊥平面ABC，
所以PC⊥CA，PC⊥CB，
以C为原点，直线CA，CB，CP分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则F(0,0,1)，B(0，，0)，E，
所以＝(0，－，1)，
＝，
设平面EFB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，则x＝0，z＝，得n＝(0,1，)，
因为直线PC⊥平面ABC，
所以＝(0,0,1)为平面ABC的一个法向量，
所以cos〈，n〉＝＝＝，
所以二面角E－l－C的正弦值为.
[周三]
3．(2022·苏州四校联考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，n∈N*.
(1)设bn＝－