人教版高中数学每日一练　第六周.docx

第六周
[周一]
1.(2022·漳州模拟)如图，在平面四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos B＋acos C＋ccos A＝0.
(1)求B；
(2)若AB＝CD＝2，△ABC的面积为2，求AD.
解　(1)由bcos B＋acos C＋ccos A＝0及正弦定理得
sin Bcos B＋sin Acos C＋cos Asin C＝0，
所以sin Bcos B＋sin(A＋C)＝0，
所以sin Bcos B＋sin B＝0，
因为0<B<π，所以sin B>0，
所以cos B＝－，
所以B＝.
(2)因为△ABC的面积为2，
所以S△ABC＝acsin B＝2，
即a＝2，所以a＝2，
由余弦定理得
AC＝＝2，
所以cos∠CAB＝
＝＝，
因为AC平分∠BAD，
所以cos∠CAB＝cos∠CAD，
所以CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos∠CAD，
所以4＝20＋AD2－2×2×AD×，
所以AD2－8AD＋16＝0，
所以AD＝4.
[周二]
2．(2022·石家庄模拟)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1,2an＋1＝Sn＋2(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}满足bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)当n≥2时，
由2an＋1＝Sn＋2，得2an＝Sn－1＋2，
两式相减得2an＋1－2an＝an，
所以＝，
因为a1＝1，则a2＝＝，
所以＝，符合＝，
所以数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列，所以an＝n－1.
(2)bn＝＝(n－2)·n－1，
则Tn＝－1×0＋0×＋1×2＋…＋(n－2)·n－1，
Tn＝－1×＋0×2＋1×3＋…＋(n－3)·n－1＋(n－2)·n，
两式相减得－Tn＝－1＋＋2＋…＋n－1－(n－2)·n
＝－2＋－(n－2)n，
所以Tn＝2(n－4)n＋8.
[周三]
3．(2022·衡水模拟)某学校的射击比赛，开始时选手在距离目标100 m处射击，若命中则记3分，且停止射击．若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但需在距离目标150 m处射击，这时命中目标记2分，且停止射击．若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时需在距离目标200 m处射击，若第三次命中则记1分，并停止射击．若三次都未命中则记0分，并停止射击．已知选手甲的命中率与目标的距离的平方成反比，他在100 m处击中目标的概率为，且各次射击都相互独立．
(1)求选手甲在射击中得0分的概率；
(2)设选手甲在比赛中的得分为ξ，求ξ的分布列和均值．
解　(1)记选手甲第一、二、三次射击命中目标分别为事件A，B，C，三次都没有击中目标为事件D，则P(A)＝.
设选手甲在x m处击中目标的概率为P(x)，
则P(x)＝.
由x＝100时，P(A)＝，得＝，
所以k＝5 000，P(x)＝，
所以P(B)＝，P(C)＝.
由于各次射击都是相互独立的，所以选手甲在射击中得0分的概率为
P(D)＝P()＝××＝.
(2)由题设知，ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝3)＝，
P